Análisis e interpretación de gráficos estadísticos II

En la mayoría de problemas de esta parte, el gráfico te da pistas, no respuestas completas. Tu tarea es completar la estructura interna de los datos:

1. Identificar qué representa cada gráfico y sus unidades.
2. Extraer todos los datos visibles (porcentajes, ángulos, alturas, claves, totales).
3. Completar información implícita usando sumas, totales, proporciones o relaciones entre gráficos.
4. Calcular lo pedido o evaluar cada proposición convirtiéndola en un cálculo concreto.

A lo largo del tema verás que este esquema se repite. No hay una fórmula mágica; la clave es la disciplina de no sacar conclusiones apresuradas y de traducir cada frase a números.

En el tema anterior viste gráficos circulares donde todos los sectores tenían porcentajes o ángulos claros. Ahora profundizaremos en los casos donde falta información, aparece una variable, o un sector está expresado en ángulos y los demás en porcentajes.

Completar porcentajes a partir de ángulos

Como $100\% \leftrightarrow 360^\circ$, para convertir un ángulo $\theta$ a porcentaje usamos:

$$p\% = \frac{\theta}{360^\circ}\times 100\%$$

Y para convertir un porcentaje $p\%$ a ángulo:

$$\theta = \frac{p}{100}\times 360^\circ$$

Ejemplo breve:
Un sector de $90^\circ$ representa
$$\frac{90}{360}\times 100\% = 25\%$$
del total.

Si en un gráfico circular aparecen un sector de $150^\circ$, otro de $200^\circ$, y un tercero sin datos, el tercero mide:

$$360^\circ - (150^\circ + 200^\circ) = 10^\circ$$

y su porcentaje es:

$$\frac{10^\circ}{360^\circ}\times 100\% \approx 2.78\%$$

Porcentajes expresados con variables

Es muy común que en lugar de darte todos los porcentajes, el gráfico contenga expresiones como $a\%$, $(a+10)\%$, etc. Para resolverlas, usamos la condición de que todos los sectores suman 100%.

Ejemplo breve:
Un gráfico circular tiene sectores: $a\%$, $(a+10)\%$, $24\%$ y $30\%$. Entonces:

$$a + (a+10) + 24 + 30 = 100$$ $$2a + 64 = 100 \quad\Rightarrow\quad a = 18$$

Así, el sector $(a+10)\%$ es $28\%$.

Calcular el total a partir de un sector

Si de un gráfico circular sabes que un sector de $p\%$ corresponde a $C$ unidades, el total $T$ es:

$$T = \frac{C}{p}\times 100$$

Ejemplo breve:
Si el 25% del total son 180 personas, entonces:

$$T = \frac{180}{25}\times 100 = 720$$

Comparaciones entre sectores

Cuando se pide “¿qué relación hay entre A y B?”, en un gráfico circular puedes comparar directamente sus porcentajes o ángulos, sin necesidad de calcular las cantidades absolutas, siempre que ambos sean del mismo total.

Ejemplo:
Si el sector A representa 20% y el B 25%, entonces B es $\frac{25}{20}=1.25$ veces A, es decir, B supera a A en 25% (25% de A). También, la razón $A:B$ es $20:25=4:5$.

Además de las barras simples que ya viste, en los exámenes aparecen con frecuencia barras dobles (dos series comparadas por categorías) y barras apiladas (cada barra dividida en partes que suman el total).

Barras dobles

Un gráfico de barras dobles muestra dos o más series para cada categoría, cada una con su propio color o trama. Por ejemplo, la producción de quinua y trigo en tres meses; cada mes tiene dos barras: una para quinua y otra para trigo.

Al leer estos gráficos, es clave distinguir qué barra pertenece a qué serie y no comparar alturas de series diferentes como si fueran la misma variable.

Cálculos típicos:

1. Variación de una misma serie entre dos categorías:
   Si la producción de trigo en abril fue 25 toneladas y en mayo 15 toneladas, la disminución fue: $$\frac{15-25}{25}\times 100\% = -40\%$$ Es decir, bajó un 40%.

2. Proporción de una parte respecto al total de su propia serie:
   Si la producción de quinua fue: marzo 20, abril 15, mayo 10; el total de quinua es $45$ y abril representa: $$\frac{15}{45}\times 100\% \approx 33.3\%$$

3. Comparación entre series en un mismo punto:
   “En abril, la quinua superó al trigo en $15-15=0$”, etc.

Barras apiladas

En una barra apilada, cada categoría es una barra dividida en secciones que representan subcategorías. La altura total de la barra es la suma de sus partes.

Ejemplo:
Una barra de gastos de una empresa dividida en “operativos”, “financieros”, “de venta” y “administrativos”. Si la barra total representa S/37,810 y los gastos operativos y financieros juntos son S/9,830.60, entonces su porcentaje respecto al total es:

$$\frac{9\,830.60}{37\,810}\times 100\% \approx 26\%$$

Así puedes completar el resto.

Trampa frecuente: en barras apiladas los valores de las secciones pueden darse en porcentajes y en cantidades al mismo tiempo. Siempre convierte todo a las mismas unidades antes de sumar.

Los gráficos de líneas son ideales para mostrar evolución en el tiempo. En la primera parte trabajaste con una sola serie; ahora nos centramos en gráficos lineales con varias series y en el análisis de proposiciones.

Series múltiples

Cuando hay dos o más líneas, cada una representa una variable distinta. Debes identificar a qué variable corresponde cada línea mediante la leyenda. Los puntos de una misma línea se unen para mostrar su tendencia; no debes conectar puntos de líneas diferentes.

Cálculo de variación porcentual

Entre dos puntos consecutivos de una misma serie:

$$\Delta\% = \frac{V_{\text{final}} - V_{\text{inicial}}}{V_{\text{inicial}}}\times 100\%$$

Ejemplo:
Si el número de postulantes en 2019 fue 46 (en cientos) y en 2020 fue 29 (en cientos), la variación es:

$$\frac{29-46}{46}\times 100\% \approx -36.96\%$$

Esto se reporta como “disminuyó aproximadamente 37%”.

Promedios en intervalos

Cuando piden el promedio de una serie entre ciertos años, suma los valores y divide entre la cantidad de años.

Ejemplo:
Postulantes (en cientos) 2011–2015: 46, 37, 33, 42, 40. El promedio es:

$$\frac{46+37+33+42+40}{5} = \frac{198}{5}=39.6$$

Y si la escala está en cientos, el promedio real es $39.6\times 100 = 3960$ postulantes.

Análisis de proposiciones

En este tipo de preguntas se pide determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F). Evalúa cada una por separado convirtiéndola en un cálculo.

Ejemplo de proposiciones sobre un gráfico lineal:

• “El porcentaje de disminución del año 2019 al 2020 es aproximadamente 37%.”
  Ya calculamos que es $\approx 37\%$, así que sería verdadera.
• “Solo hay dos periodos anuales donde el número de postulantes aumentó.”
  Revisas año a año: sube de 2013 a 2014, de 2017 a 2018, de 2018 a 2019. Son tres aumentos, así que falsa.
• “El promedio de 2011 a 2015 es 3960.”
  Calculamos $39.6\times 100 = 3960$, verdadera.

La secuencia correcta podría ser VFV. Esto es típico del examen.

Un pictograma usa dibujos o íconos para representar cantidades. Una clave indica cuántas unidades representa cada ícono o grupo de íconos.

Clave de valor

Si la clave dice “$$\text{ícono} = 2000 \text{ libros}$$”, entonces cada figura completa equivale a 2000 libros. Los íconos pueden aparecer enteros o fraccionados (mitad, cuarto).

Ejemplo:
Si la primera semana hay 6 íconos completos y medio ícono, y cada ícono vale 2000, la cantidad es:

$$6.5 \times 2000 = 13\,000 \text{ libros}$$

Porcentajes y comparaciones a partir de pictogramas

Puedes calcular totales sumando todas las categorías y luego aplicar regla de tres para porcentajes.

Ejemplo:
Si en tres semanas se vendieron:

• 1.ª semana: 13,000 libros
• 2.ª semana: 8,000 libros
• 3.ª semana: 6,500 libros

El total es $27,500$ libros. La 3.ª semana representa:

$$\frac{6\,500}{27\,500}\times 100\% \approx 23.6\%$$

Y “la 3.ª semana es la mitad de la 1.ª” es falso, porque $6,500$ no es la mitad de $13,000$, sino la mitad exacta de $13,000$ sí sería $6,500$, así que en este caso es verdadero. Debes ajustar el ejemplo según los números que elijas.

Trampa: en los pictogramas, a veces una fila de íconos no tiene exactamente el mismo valor entre categorías porque falta una parte de ícono; debes contar con cuidado las fracciones.

En problemas más avanzados, la información se reparte en dos o más gráficos/tablas. Por ejemplo, un primer gráfico circular muestra la distribución general (religión de alcaldes) y un segundo gráfico circular muestra la subdistribución de una de esas categorías (católicos por ciudad de origen). Hay que relacionar los totales entre ambos.

Tabla de doble entrada

Una tabla de doble entrada organiza dos variables: por ejemplo, filas = categorías (cursos preferidos), columnas = grupos (profesor, alumno, administrativo). Cada celda es la frecuencia de una combinación.

Cálculos típicos:

• Total de una fila/columna: sumando sus celdas.
• Porcentaje por fila o columna: dividir la celda entre el total de la fila o columna según lo pidan.
• Datos faltantes: completar usando totales conocidos.

Combinación de dos gráficos circulares

Ejemplo:
Se sabe que hay 72 alcaldes. El gráfico 1 muestra que los católicos son un sector de $220^\circ$. El gráfico 2 muestra que, dentro de los católicos, los limeños son un sector de $180^\circ$.

Paso a paso:

1. El porcentaje de católicos en el total de alcaldes es: $$\frac{220^\circ}{360^\circ}\times 100\% \approx 61.11\%$$ Por lo tanto, católicos: $$72 \times 0.6111 \approx 44$$

2. Dentro del gráfico 2, los limeños son: $$\frac{180^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{2}$$ de los católicos, es decir: $$\frac{1}{2}\times 44 = 22$$

Así se calcula una cantidad de un subgrupo combinando dos gráficos circulares.

Fórmula general: si un sector $S_1$ del gráfico general representa $p_1\%$ del total, y dentro de $S_1$ un sub-sectores $S_2$ representa $p_2\%$ de $S_1$, entonces $S_2$ representa:

$$p_1\% \times p_2\%$$

del total general. Luego multiplicas por el total absoluto si lo conoces.

Este tipo de pregunta es de alta frecuencia: se presentan una o dos gráficas y se enuncian tres proposiciones; debes decir cuáles son verdaderas.

Método de tres pasos

1. Traduce la proposición a una operación matemática.

   • “El candidato A tiene mayor preferencia a nivel nacional” → suma los votos de A en todas las regiones y compáralos con los de B.
   • “Más del 33.3% de los votantes de A están en el centro” → calcula $\frac{\text{votos de A en centro}}{\text{total votos de A}}\times 100\%$.
   • “Sin contar la región oeste, A mantiene la preferencia” → excluye el oeste, suma los votos restantes de A y B y compara.

2. Realiza los cálculos con cuidado.
   Usa las sumas parciales y totales; convierte todo a las mismas unidades.

3. Compara y asigna V o F.

Ejemplo con barras dobles (candidatos A y B por regiones):
Supón que las barras muestran votos (en miles) como:

Proposiciones:

I. “A tiene mayor preferencia nacional.”
Sumas A: $3+4+2+1+5=15$. Sumas B: $6+12+10+11+4=43$. Falso.

II. “Más del 33.3% de votantes de A están en centro.”
Votos de A en centro = 4; total A = 15; porcentaje $\frac{4}{15}\times 100\% \approx 26.7\%$. Falso.

III. “Sin contar oeste, A mantiene la preferencia.”
Sin oeste: A = $15-5=10$; B = $43-4=39$. Falso.

La secuencia sería FFF. El gráfico no es como el de la fuente; yo lo adapté.

Trampas frecuentes:

• Confundir “mayor preferencia en una región” con “mayor preferencia nacional”.
• Interpretar “más del 33.3% de los votantes de A” como “más del 33.3% del total de votantes” en lugar de referirse solo a los votantes de A.
• No excluir correctamente una categoría cuando la proposición dice “sin contar …”.

Algunas preguntas no piden calcular cantidades, sino relaciones entre cantidades:

• “A es más de 4 veces B”
• “p representa aproximadamente el 5.5% del total”
• “p es el 49% de q”

Razones en gráficos circulares

En un gráfico circular, si los sectores tienen ángulos $\alpha$ y $\beta$, la razón entre sus cantidades es la misma que entre sus ángulos o porcentajes:

$$\frac{\text{cantidad }A}{\text{cantidad }B} = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{p_A}{p_B}$$

Ejemplo:
Sector minería: $200^\circ$. Sector gas y petróleo: $50^\circ$. La razón minería / gas-petróleo es $200/50 = 4$. Si la proposición dice “la exportación minera es más de 4 veces la de gas y petróleo”, vemos que es exactamente 4 veces, no más; por lo tanto, sería falsa si pide “más de 4 veces”.

Porcentaje de una parte respecto del total

Para saber qué porcentaje del total es un sector dado, aplica regla de tres. Si el total son 360° y el sector agropecuario mide 20°, su porcentaje es:

$$\frac{20}{360}\times 100\% \approx 5.56\%$$

Compara ese valor con el propuesto (5.5%) y decide si es verdadero o falso.

“p es el a% de q”

Esto se resuelve con:

$$p = \frac{a}{100} q$$

Si p no se da directamente, primero calcúlala a partir del gráfico y luego compara.

Pasos recomendados

1. Lee el enunciado completo y las preguntas antes de mirar el gráfico para saber qué tipo de operación necesitarás.
2. Identifica el tipo de gráfico y las variables involucradas.
3. Anota en el gráfico (mentalmente o en el papel) los valores que se deducen.
4. Si hay varias proposiciones, resuélvelas una por una. No intentes resolverlas todas a la vez.
5. Convierte las unidades (miles, cientos, porcentajes, ángulos) de inmediato.
6. Para cada proposición, escribe la operación que la representa y luego decide V o F.
7. Verifica tu secuencia con las alternativas.

Atajos útiles

• Convierte porcentajes a fracciones:
  $25\% = \frac{1}{4}$, $20\% = \frac{1}{5}$, $50\% = \frac{1}{2}$, $33.3\% \approx \frac{1}{3}$. Esto agiliza las cuentas.

• En gráficos circulares, trabaja con ángulos o porcentajes, lo que sea más cómodo.
  Si te piden cantidades, convierte ángulos a porcentajes o fracciones del total.

• No sumes variaciones porcentuales de años consecutivos.
  Los porcentajes se aplican sobre bases diferentes; calcula cada valor paso a paso.

• Usa totales parciales para comprobar:
  Si sumas las categorías y no obtienes el total indicado, algo está mal.

• En proposiciones con “más del”, “menos del”:
  Calcula el valor exacto y compara, no solo lo mires.

• Si una proposición incluye una condición restrictiva como “sin contar X”, excluye X de los totales antes de comparar.