Rotación y traslación de figuras 2

Rotación

Rotar una figura es girarla alrededor de un punto fijo $O$, llamado centro de rotación. Para especificar una rotación se necesitan tres datos:

• el centro $O$,
• el ángulo de giro $\theta$,
• el sentido: horario o antihorario.

Cada punto $P$ de la figura se transforma en un punto $P'$ tal que $OP = OP'$ y el ángulo $\angle POP' = \theta$. La figura completa conserva su forma y su tamaño; solo cambia su orientación.

Por ejemplo, si un triángulo equilátero gira $90°$ en sentido horario alrededor de su centro, su orientación cambia, pero sus lados y ángulos permanecen iguales.

Traslación

Trasladar una figura es deslizarla según un vector $\vec{v}$. Todos los puntos se desplazan la misma distancia y en la misma dirección. La orientación de la figura no cambia: si una flecha apunta hacia la derecha antes de la traslación, seguirá apuntando hacia la derecha después.

En los problemas reales, a menudo se combinan rotaciones y traslaciones. Por ejemplo, una figura puede rotar $120°$ horario y luego trasladarse hasta que un vértice coincida con otro punto. La rotación cambia la orientación; la traslación cambia la posición. Al resolver, conviene ejecutar los movimientos por separado y en el orden indicado.

En los problemas de admisión suelen aparecer ángulos como $810°$, $1530°$ o $990°$. Girar una figura $810°$ puede sonar complicado, pero en realidad solo importa la posición final. Como una vuelta completa es $360°$, sumar o restar $360°$ no cambia la orientación.

Por lo tanto, para reducir cualquier ángulo a un valor entre $0°$ y $360°$, basta dividirlo entre 360 y tomar el residuo. Algunos ejemplos:

• $810°$ horario: $810 = 2 \times 360 + 90$. Equivale a girar 90° horario.
• $1530°$ antihorario: $1530 = 4 \times 360 + 90$. Equivale a girar 90° antihorario.
• $990°$ horario: $990 = 2 \times 360 + 270$. Equivale a girar 270° horario.

También puedes cambiar de sentido usando la equivalencia fundamental:

$$x° \text{ horario} = (360° - x) \text{ antihorario}$$

Por ejemplo, $270°$ horario es lo mismo que $90°$ antihorario, porque $360 - 270 = 90$.

Este procedimiento es especialmente útil en problemas de láminas transparentes. No dibujes la figura girando tres veces; reduce primero y luego gira mentalmente una sola vez.

Un tipo clásico de pregunta presenta dos o más láminas cuadradas congruentes, transparentes, divididas en sectores iguales, algunos de ellos sombreados. Cada lámina se rota alrededor de su centro un ángulo indicado, y luego se trasladan sin rotar para superponerse. Se pide identificar la figura resultante.

Este tipo de problema combina rotación, traslación y superposición. La dificultad está en que, al ser transparentes, las marcas de las láminas de abajo se ven a través de las de arriba. Si una casilla está sombreada en al menos una lámina, esa casilla se verá sombreada en el resultado final.

El método de resolución es el siguiente:

1. Reduce los ángulos de rotación según lo visto en el apartado anterior.
2. Aplica la rotación a cada lámina por separado. Puedes hacerlo mentalmente marcando qué sector cambia de posición.
3. Superpón las láminas, colocando las que se trasladan sobre la lámina base.
4. Determina los sectores sombreados finales. Revisa si hay sectores que coinciden y si algún sector se tapa o se acumula.

Por ejemplo, si una lámina tiene sombreado el cuadrante superior derecho y rota $90°$ horario, ese cuadrante pasa al inferior derecho. Si otra lámina tiene sombreado el inferior izquierdo y rota $90°$ antihorario, ese cuadrante pasa al superior izquierdo. Al superponer ambas, los sectores sombreados son el inferior derecho y el superior izquierdo.

Este método no requiere dibujar con precisión; solo hay que tener claro cómo se mueve cada sector con cada giro.

Ahora pasamos a la parte más importante del tema: la rodadura de figuras sobre una superficie. Decimos que una figura rueda sin deslizarse cuando, en cada instante, el punto de contacto con la superficie está quieto con respecto a dicha superficie. Ese punto de contacto actúa como un centro instantáneo de rotación: la figura gira alrededor de ese punto en ese instante.

La consecuencia más útil es la relación entre la distancia que avanza el centro y el ángulo que gira la figura. Consideremos un disco circular de radio $r$. En una vuelta completa, el disco gira $2\pi$ radianes y su centro avanza una distancia igual al perímetro de la circunferencia del disco, es decir, $2\pi r$. Por lo tanto, si el centro avanza una distancia $L$, el ángulo girado $\theta$ en radianes es

$$\theta = \frac{L}{r}$$

y el número de vueltas $N$ es

$$N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{L}{2\pi r}$$

Esta fórmula es la base de casi todos los problemas de número de vueltas. Hay que tener mucho cuidado: $L$ es la longitud recorrida por el centro del disco, no la longitud de la superficie de contacto. En superficies rectas, ambas coinciden; en superficies curvas, no, como veremos a continuación.

Trayectoria del centro

Mientras un disco de radio $r$ rueda sobre una superficie, su centro $O$ se mantiene siempre a una distancia $r$ de la superficie. Si la superficie es una recta, $O$ describe una recta paralela a ella. Si la superficie es un arco de circunferencia de radio $R$:

• si el disco rueda por el exterior de la curva, el centro $O$ describe un arco de radio $R + r$;
• si el disco rueda por el interior de la curva, el centro $O$ describe un arco de radio $R - r$.

Este ajuste de radios es crucial. Un error típico consiste en usar el radio $R$ de la superficie para calcular la trayectoria del centro; en realidad, hay que sumar o restar el radio del disco.

Muchas trayectorias de rodadura combinan segmentos rectos y arcos de circunferencia. Por ejemplo, un disco puede rodar sobre un segmento recto, luego sobre un arco, y finalmente sobre otro segmento.

Para calcular la longitud total recorrida por el centro del disco:

1. Identifica cada tramo de la superficie de rodadura.
2. Traza mentalmente la trayectoria del centro:
   • en cada tramo recto, es un segmento de igual longitud;
   • en cada arco de radio $R$, es un arco de radio $R + r$ o $R - r$, según el disco vaya por fuera o por dentro de la curva, con el mismo ángulo central.
3. Calcula la longitud de cada tramo de la trayectoria del centro.
4. Suma todas las longitudes.

Ejemplo breve: un disco de radio $2$ cm rueda sobre un segmento recto de $10$ cm y luego sobre un arco de $90°$ y radio $5$ cm, por el exterior. La trayectoria del centro es un segmento de $10$ cm más un arco de radio $5+2=7$ cm y ángulo $90°$. La longitud del arco es

$$L_{\text{arco}} = \frac{\pi \times 7 \times 90°}{180°} = 3{,}5\pi \text{ cm}$$

Por tanto, la longitud total recorrida por el centro es $10 + 3{,}5\pi$ cm.

Si el problema pide el número de vueltas, se divide esta longitud entre $2\pi r$.

Un polígono regular también puede rodar sin deslizarse. A diferencia del disco, que rueda de manera continua, un polígono lo hace dando “pasos”: en cada paso, el polígono se apoya en un vértice y gira alrededor de él hasta que el siguiente lado toca la superficie.

La magnitud del giro en cada paso es igual al ángulo exterior del polígono, que para un polígono regular de $n$ lados es

$$e = \frac{360°}{n}$$

Ejemplos:

Cada vez que el polígono gira alrededor de un vértice, los demás puntos describen arcos de circunferencia. El centro del polígono, por ejemplo, se mueve describiendo arcos cuyo radio es la distancia del centro a un vértice (el radio de la circunferencia circunscrita). Un vértice que no es el apoyo describe arcos cuyo radio es la distancia entre ese vértice y el vértice de apoyo.

Cálculo del recorrido de un punto

Para calcular la longitud que recorre un punto específico $P$ de un polígono al rodar:

1. Divide el movimiento en pasos. En cada paso, el polígono gira alrededor de un único vértice de apoyo.
2. En cada paso, determina si $P$ es el punto de apoyo. Si lo es, no se mueve durante ese paso: recorre $0$ cm.
3. Si $P$ no es el apoyo, identifica la distancia $d$ de $P$ al vértice de apoyo y el ángulo de giro $\alpha$.
4. Calcula la longitud del arco:
   $$L_{\text{arco}} = \frac{\pi d \alpha}{180°}$$
5. Suma las longitudes de todos los pasos.

Por ejemplo, para un triángulo equilátero de lado $a$ que rueda sobre una recta, veamos el recorrido del vértice $A$ desde que toca el suelo hasta que vuelve a tocarlo. La secuencia de apoyos es $A \to B \to C \to A$.

• En el primer paso, el triángulo se apoya en $B$ y gira $120°$ alrededor de $B$. El vértice $A$ está a distancia $a$ de $B$, por lo que recorre un arco de radio $a$ y $120°$.
• En el segundo paso, el triángulo se apoya en $C$ y gira $120°$ alrededor de $C$. $A$ está a distancia $a$ de $C$, y recorre otro arco de radio $a$ y $120°$.
• En el tercer paso, $A$ es el apoyo y no se mueve.

La longitud total recorrida por $A$ es

$$2 \times \frac{2\pi a}{3} = \frac{4\pi a}{3}$$

Este tipo de análisis se puede aplicar a cualquier polígono regular. Para un cuadrado, por ejemplo, el ángulo exterior es $90°$, y el vértice que se mueve describe a veces arcos de radio igual al lado, y a veces arcos de radio igual a la diagonal, dependiendo de cuál sea el vértice de apoyo.

Posición final de un polígono que rueda

Además de calcular longitudes, en algunos problemas se pide determinar la posición final de un polígono después de rodar una cierta distancia. Para ello, se razona así: el número de pasos (cambios de apoyo) está determinado por la longitud del tramo recorrido. En cada paso, el polígono gira un ángulo igual a su ángulo exterior. La orientación final se obtiene sumando esos ángulos.

Por ejemplo, si un hexágono regular rueda sobre una trayectoria y realiza cuatro pasos, habrá girado $4 \times 60° = 240°$. Con ese dato se puede saber qué lado o vértice queda apoyado al final.

Un tipo de problema muy frecuente es el siguiente: un disco de radio $r$ rueda por el perímetro de una figura cerrada (una circunferencia, un cuadrado, un triángulo, etc.) hasta regresar al punto de partida. Se pregunta cuántas vueltas dará alrededor de su propio centro.

El método general sigue siendo el mismo: calcular la longitud de la trayectoria del centro del disco y dividirla entre $2\pi r$. Sin embargo, para figuras convexas se puede deducir una fórmula rápida.

Rodadura por el exterior de un polígono convexo

Si un disco de radio $r$ rueda por el exterior de un polígono convexo de perímetro $P$, la trayectoria del centro del disco consta de:

• segmentos rectos, cuyas longitudes son iguales a los lados del polígono, y
• arcos en cada vértice, de radio $r$ y ángulo igual al ángulo exterior del polígono.

Como la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es $360°$, la suma de todos esos arcos es exactamente $2\pi r$. Por lo tanto, la longitud total de la trayectoria del centro es

$$P + 2\pi r$$

El número de vueltas es

$$N = \frac{P + 2\pi r}{2\pi r} = 1 + \frac{P}{2\pi r}$$

Rodadura alrededor de una circunferencia

Para una circunferencia de radio $R$, el perímetro es $P = 2\pi R$. Entonces:

$$N = 1 + \frac{2\pi R}{2\pi r} = 1 + \frac{R}{r} = \frac{R+r}{r}$$

Si el disco rueda por el interior de una circunferencia de radio $R$, la trayectoria del centro es una circunferencia de radio $R - r$, y el número de vueltas es

$$N = \frac{2\pi (R-r)}{2\pi r} = \frac{R-r}{r}$$

El “1” extra en el caso exterior se puede interpretar así: además de las vueltas que el disco da por la longitud recorrida, el centro describe una vuelta completa alrededor de la figura. Ese giro adicional del centro equivale a una vuelta más del disco sobre sí mismo.

Aplicación a dos monedas

Si una moneda de radio $r$ rueda alrededor de otra moneda fija de radio $R$, el número de vueltas es

$$N_1 = 1 + \frac{R}{r}$$

Si se invierten los papeles y la de radio $R$ rueda alrededor de la de radio $r$, el número es

$$N_2 = 1 + \frac{r}{R}$$

Se cumple la relación

$$(N_1 - 1)(N_2 - 1) = 1$$

Esto permite resolver rápidamente problemas en los que se dan dos monedas tangentes de radios diferentes y se pregunta cuántas vueltas da una alrededor de la otra.

Otro tipo de pregunta, menos frecuente pero que conviene dominar, pide calcular el perímetro o el área de la región que genera un segmento al girar un ángulo determinado alrededor de un punto. Por ejemplo, una tiza colocada sobre una pizarra gira $90°$ alrededor de un punto $P$; se forma una región plana.

Cuando un segmento $AB$ gira alrededor de un punto $P$, los puntos $A$ y $B$ describen arcos de circunferencia centrados en $P$, con radios $PA$ y $PB$, respectivamente. La región barrida es un sector de corona circular (si los radios son diferentes y el ángulo es menor que $360°$). El borde de esa región está formado por:

• los arcos descritos por los extremos del segmento, y
• los segmentos que corresponden a las posiciones inicial y final del segmento.

Para hallar el perímetro de la región barrida:

1. Calcula los radios $r_1$ y $r_2$ desde $P$ a los extremos del segmento.
2. Calcula la longitud de los arcos descritos por cada extremo: $$L_1 = \frac{\pi r_1 \theta}{180°}, \qquad L_2 = \frac{\pi r_2 \theta}{180°}$$
3. Suma los arcos y los segmentos de las posiciones inicial y final. Generalmente, los segmentos que cierran la región son las porciones del segmento original comprendidas entre los puntos de apoyo y los extremos; su longitud total suele ser la diferencia entre los radios, multiplicada por dos.

Este tipo de problemas pone a prueba tu capacidad de visualizar el barrido de un segmento, y se resuelve aplicando directamente la fórmula de longitud de arco.

Un desarrollo de un cubo es la figura plana que se obtiene al desdoblar sus seis caras sobre un plano. Un mismo cubo puede tener muchos desarrollos equivalentes. Para comparar desarrollos o identificar cuál corresponde a un cubo dado, se pueden aplicar movimientos de partes del desarrollo, sin romper las uniones entre caras.

Hay dos reglas fundamentales:

• Por traslación: si en el desarrollo hay una fila de cuatro casillas (caras), se puede trasladar un bloque de casillas de esa fila al otro lado de la misma fila, sin alterar el orden de las demás. Esto es válido porque, al armar el cubo, esa fila de cuatro caras forma un anillo lateral; mover una casilla al otro lado equivale a girar el cubo, no a cambiar la estructura.
• Por rotación: cualquier parte del desarrollo puede girar $90°$ respecto a una arista de unión, como si se doblara o girara una bisagra, y seguir correspondiendo al mismo cubo.

Estos movimientos son exactamente rotaciones y traslaciones de figuras en el plano, aplicadas a las casillas de un desarrollo. Dominarlos te permitirá resolver preguntas como “¿cuál de los siguientes desarrollos corresponde al cubo mostrado?” sin necesidad de armar físicamente el sólido.