Cortes y seccionamientos

Una parte importante del curso de San Marcos junta dos ideas:

• cortes: dividir una pieza en partes;
• estacas: colocar marcas, postes o elementos separados por distancias iguales.

Ambas ideas se resuelven con la misma lógica de intervalos.

1. Cortes en una figura abierta

Imagina una varilla recta que deseas partir en trozos iguales.

Si la varilla mide $L$ y cada trozo debe medir $d$, entonces el número de trozos es

$$\text{número de trozos} = \frac{L}{d}$$

y el número de cortes es

$$\text{número de cortes} = \frac{L}{d} - 1$$

La razón es sencilla: el primer trozo y el último trozo ya tienen un extremo libre, así que no necesitas cortar en los extremos.

Ejemplo inmediato:
Una varilla de $24\,\text{cm}$ se corta en trozos de $6\,\text{cm}$.

$$\frac{24}{6}=4$$

Se obtienen $4$ trozos, y los cortes necesarios son

$$4-1=3$$

No son 4 cortes.

En general, en una figura abierta:

$$\boxed{\text{cortes} = \text{partes} - 1}$$

También hay problemas en los que no todos los trozos son iguales, pero la relación entre cortes y partes se mantiene: dos cortes generan tres tramos, tres cortes generan cuatro tramos, etc.

2. Estacas en una figura abierta

Ahora piensa en una avenida recta de longitud $L$, en la que se colocan postes cada $d$ metros. Si se coloca un poste al inicio y otro al final, el número de postes es

$$\text{número de postes} = \frac{L}{d} + 1$$

Ejemplo inmediato:
En una calle de $40\,\text{m}$ se colocan postes cada $8\,\text{m}$, desde el inicio hasta el final.

$$\frac{40}{8}+1=5+1=6$$

Se necesitan 6 postes.

La tabla básica es:

3. Figuras cerradas

Cuando la figura es cerrada, como un aro, un contorno rectangular, un perímetro triangular o un círculo, la fórmula cambia.

En una figura abierta hay un inicio y un final, por eso sumamos o restamos 1. En una figura cerrada no hay extremos, así que:

$$\text{número de estacas} = \frac{\text{perímetro}}{\text{separación}}$$

y, para dividir un aro o contorno en partes:

$$\text{número de cortes} = \text{número de partes}$$

Ejemplo inmediato:
Un jardín rectangular tiene dimensiones $60\,\text{m}$ y $40\,\text{m}$. Su perímetro es

$$60+40+60+40 = 200\,\text{m}$$

Si se colocan estacas cada $4\,\text{m}$ en todo el contorno, se necesitan

$$\frac{200}{4}=50 \text{ estacas}$$

No se suma 1.

4. Estacas en parcelas o cuadrículas

Un tipo de problema un poco más avanzado es cuando se divide un terreno en parcelas cuadradas y se cuentan estacas en los lados de todas las parcelas. Allí no basta contar el perímetro exterior.

La idea es descomponer el conteo en dos partes:

1. Vértices de la cuadrícula.
   Si el terreno queda dividido en $m$ columnas y $n$ filas de parcelas, entonces hay
   $$(m+1)(n+1)$$ vértices.

2. Estacas intermedias de cada lado.
   Si en cada lado de cada parcela se colocan $k$ estacas incluyendo los vértices, entonces cada lado tiene $k-2$ estacas intermedias. Luego se cuentan los lados horizontales y verticales de la cuadrícula.

Hasta aquí vimos cortes “de una pieza a la vez”. Pero las preguntas más modernas de San Marcos incluyen una idea adicional:

Después de un corte, se pueden mover las piezas, superponerlas o alinearlas, de modo que el siguiente corte atraviese varias piezas a la vez.

Esta es la esencia del seccionamiento mínimo.

Cortes que hacen más trabajo

Supongamos que quieres dividir una tira en 4 pedazos iguales. Sin reacomodar, necesitas 3 cortes:

$$\text{partes} - 1 = 4-1 = 3$$

Pero si puedes apilar, puedes hacer esto:

1. Primer corte: partes la tira en dos mitades.
2. Superpones las dos mitades.
3. Segundo corte: atraviesas ambas mitades a la vez.

Resultado: obtienes 4 pedazos con solo 2 cortes.

Esta idea se puede repetir:

• con 1 corte obtienes 2 piezas,
• con 2 cortes puedes obtener 4,
• con 3 cortes puedes obtener 8.

Por eso, para un solo sentido de corte, si se permite apilar todo lo necesario,

$$\text{cortes mínimos} = \lceil \log_2 \text{número de segmentos} \rceil$$

Diferencia entre alinear y superponer

• Alinear: colocar piezas una a continuación de otra para que un corte continúe de una pieza a la siguiente.
• Superponer: colocar piezas una encima de otra para que un solo corte atraviese varias capas.

Ambos recursos son muy usados en los problemas de planchas de madera, papel y tela.

En los problemas más frecuentes de San Marcos aparece una plancha de madera o un tablero cuadriculado con letras o figuras marcadas, y se pide:

• separar solo las casillas marcadas;
• separar todas las piezas;
• formar una figura o palabra.

Caso 1: obtener todos los cuadraditos

Si tienes una plancha formada por $m\times n$ cuadraditos congruentes, y puedes apilar las piezas sin restricción de espesor, entonces:

$$\text{cortes mínimos} = \lceil \log_2 m \rceil + \lceil \log_2 n \rceil$$

Ejemplo:
Una plancha cuadrada de $4\times 4$ cuadraditos.

• Para obtener 4 tiras en una dirección: $\lceil \log_2 4 \rceil = 2$ cortes.
• Para dividir cada tira en 4 cuadraditos: otros 2 cortes.
• Total: $2+2=4$ cortes.

Sin apilamiento habrías necesitado:

$$(4-1)+(4-1)=3+3=6$$

así que el apilamiento reduce el trabajo.

Caso 2: separar solo piezas marcadas

Cuando no se deben separar todos los cuadraditos, sino solamente algunos marcados con letras o figuras, no siempre conviene usar la fórmula anterior.

En estos problemas, razona así:

1. Observa qué letras o piezas están alineadas.
2. Busca un primer corte que separe el tablero en bloques con varios cuadraditos marcados.
3. Después del primer corte, reacomoda o superpone los bloques para que una misma línea de corte separe varias fronteras a la vez.
4. No cortes de más: si dos casillas deben quedar juntas en el arreglo final, no las separes.

Por lo general, el primer corte debe ser el que rompe la simetría del tablero y deja piezas fáciles de apilar.

Caso 3: reacomodar un tablero para formar un cuadrado

Otro tipo de pregunta pide cortar un rectángulo de modo que, con los trozos obtenidos, se pueda formar un cuadrado.

La primera ley es:

$$\text{lado del cuadrado} = \sqrt{\text{área del rectángulo original}}$$

Luego se busca una partición en trozos rectangulares o poligonales que, reacomodados, formen ese cuadrado.

No siempre el lado del cuadrado es un número entero. Lo importante es que la suma de las áreas de los trozos no cambia, porque solo se está reacomodando madera.

Muchos problemas de San Marcos no solo dicen “hay una sierra”, sino que agregan:

• la sierra corta hasta cierto espesor máximo;
• la guillotina corta a lo más $k$ capas;
• la herramienta tiene una longitud máxima de corte.

Estas restricciones impiden apilar piezas de forma ilimitada.

Traducir espesor a capas

Si una sierra corta como máximo $E$ centímetros de espesor y cada pieza tiene $e$ centímetros de espesor, entonces puedes superponer como máximo

$$\left\lfloor \frac{E}{e} \right\rfloor$$

capas.

Ejemplo:
Si la madera tiene $3\,\text{cm}$ de espesor y la sierra corta como máximo $4\,\text{cm}$, entonces

$$\left\lfloor \frac{4}{3} \right\rfloor = 1$$

Solo puede cortar una capa; no puedes superponer dos planchas de $3\,\text{cm}$, porque sumarían $6\,\text{cm}$ y excederían la capacidad de la sierra.

Guillotina con capas de papel

En papel o cartulina, la restricción suele expresarse directamente:

La guillotina puede cortar, a lo más, $k$ capas.

Eso significa que antes de cada corte debes verificar cuántas capas de papel quedan alineadas. Doblar el papel también genera capas, así que un doblez puede ser una forma de “superponer” sin tener que cortar previamente.

Corte por lotes

Si hay varias hojas idénticas y la guillotina puede cortar hasta $k$ hojas a la vez, conviene procesar por lotes.

La idea es:

1. Diseñar los cortes necesarios para una hoja.
2. Agrupar las hojas en bloques de a lo más $k$.
3. Repetir los mismos cortes en cada bloque.

Así, un mismo corte se repite para varias hojas simultáneamente.

Otra familia de preguntas trabaja con bloques de madera en tres dimensiones, formados por cubitos congruentes.

Si se puede apilar sin restricción

Para un bloque formado por $m\times n\times p$ cubitos, el número mínimo de cortes para separar todos los cubitos, pudiendo apilar las piezas, es:

$$\lceil \log_2 m \rceil + \lceil \log_2 n \rceil + \lceil \log_2 p \rceil$$

Ejemplo:
Un bloque $4\times 4\times 4$ está formado por 64 cubitos.

$$\lceil \log_2 4 \rceil = 2$$

Entonces el número mínimo de cortes es:

$$2+2+2=6$$

Se hace así:

1. Dos cortes en una dirección para obtener 4 planchas.
2. Se apilan las 4 planchas y se hacen dos cortes en la segunda dirección, obteniendo 16 tiras.
3. Se apilan las 16 tiras y se hacen dos cortes en la tercera dirección, obteniendo 64 cubitos.

Sin apilar, habrías necesitado:

$$(4-1)+(4-1)+(4-1)=9$$

Si no se puede apilar

Cuando la sierra corta una sola capa, o el problema no permite reacomodar, para una cuadrícula $m\times n\times p$ se necesitan:

$$(m-1)+(n-1)+(p-1)$$

porque hay que cortar cada línea divisoria por separado.

Contar cubitos por volumen

Si un cubo de arista $L$ se corta en cubitos de arista $a$, el número de cubitos es:

$$\left( \frac{L}{a} \right)^3$$

Por eso, un cubo de $100\,\text{cm}$ de arista cortado en cubitos de $5\,\text{cm}$ produce

$$\left( \frac{100}{5} \right)^3 = 20^3 = 8000 \text{ cubitos}$$

Si esos cubitos se colocan en fila, uno al lado del otro, la longitud de la fila es:

$$8000 \times 5\,\text{cm} = 40000\,\text{cm} = 400\,\text{m}$$

Otro tipo de seccionamiento aparece con alambres soldados o mallas metálicas.

La condición típica es:

No se puede doblar el alambre en ningún momento.

Eso no significa que no se puedan alinear o superponer las piezas después de un corte. Significa que no podemos plegar el alambre para que un corte coincida más fácilmente.

En estos problemas:

1. Identifica los puntos de soldadura o unión.
2. Reconoce cuántas varillas rectas hay.
3. Después de algunos cortes, alinea los tramos rectos para que un mismo corte recto pase por varios puntos de separación.
4. No dobles el alambre; solo muévalo como pieza rígida.

El papel y la tela permiten una estrategia adicional: doblar.

Al doblar papel:

• se multiplican las capas;
• un solo corte puede afectar varias capas;
• al desdoblar, los cortes aparecen repetidos por simetría.

Dobleces y agujeros

Cuando se dobla un papel y se recorta una figura, el número de agujeros que aparece al desdoblar depende de cuántas capas fueron cortadas y de si el corte toca o no el borde del papel doblado.

Regla práctica:

• Si el recorte es un agujero interior en la pila doblada, cada capa atravesada produce un agujero al desdoblar.
• Si el recorte toca el borde de la pila doblada, muchas veces no se forma un agujero, sino una modificación del contorno.

Por eso, antes de contar agujeros, pregunta:

1. ¿Cuántas capas hay?
2. ¿El corte atraviesa una zona interior o toca el borde?
3. ¿El corte pasa por una línea de doblez?

Algunos exámenes preguntan:

¿Cuál es el máximo número de piezas rectangulares que se puede obtener de una plancha?

Para resolverlo:

1. Calcula el máximo por área:

$$\left\lfloor \frac{\text{área del tablero}}{\text{área de una pieza}} \right\rfloor$$

2. Verifica si ese máximo es geométricamente posible, probando las dos orientaciones de las piezas.
3. A veces conviene mezclar orientaciones: unas piezas en posición horizontal y otras vertical.
4. Luego, para hallar el mínimo de cortes, observa qué líneas divisorias son comunes.

Ejemplo:
Una cartulina de $20\,\text{cm}\times 12\,\text{cm}$ se corta en piezas de $6\,\text{cm}\times 2\,\text{cm}$.

Área de la cartulina:

$$20\times 12 = 240$$

Área de una pieza:

$$6\times 2 = 12$$

Máximo por área:

$$\frac{240}{12}=20$$

Si colocamos las piezas de $2\,\text{cm}$ a lo ancho y $6\,\text{cm}$ a lo largo, entran:

$$\frac{20}{2}=10$$

piezas por fila, y

$$\frac{12}{6}=2$$

filas. Total:

$$10\times 2 = 20$$

Así que sí se alcanza el máximo por área.

Aunque no es “cortes” propiamente, el examen suele unir seccionamiento con proporcionalidad de volumen y peso.

Si un objeto se construye con el mismo material y todas sus dimensiones se multiplican por un factor $k$, entonces su volumen se multiplica por $k^3$. Como el peso es proporcional al volumen, el peso también se multiplica por $k^3$.

Ejemplo:
Si una estatua tiene dimensiones reducidas a la quinta parte, entonces $k=\frac{1}{5}$ y su volumen queda multiplicado por:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^3 = \frac{1}{125}$$

Por eso, si la original pesaba $500\,\text{kg}$, la reducida pesa:

$$500 \times \frac{1}{125} = 4\,\text{kg}$$