Interpretación de la información 3 (ecuaciones diofánticas)

1.1 ¿Qué es una ecuación diofántica?

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que se buscan soluciones enteras.

En este curso trabajaremos sobre todo con la forma lineal de dos incógnitas:

$$ax + by = c$$

donde $a$, $b$ y $c$ son números enteros conocidos y $x$, $y$ son enteros que debemos hallar.

Por ejemplo:

$$5x + 7y = 91$$

Aquí $x$ podría representar cuadernos y $y$ lapiceros. No se admiten soluciones como $x=1{,}3$.

1.2 Condición para que existan soluciones

No toda ecuación de este tipo tiene soluciones enteras.

Para que la ecuación

$$ax + by = c$$

tenga soluciones enteras, el máximo común divisor de $a$ y $b$ debe dividir a $c$.

Es decir:

$$\operatorname{MCD}(a,b) \mid c$$

Si $\operatorname{MCD}(a,b)$ divide a $c$, conviene simplificar toda la ecuación entre ese MCD.

Ejemplo:

$$6x + 10y = 34$$

El MCD de $6$ y $10$ es $2$, y $2$ divide a $34$. Dividimos todo entre $2$:

$$3x + 5y = 17$$

Las soluciones enteras de ambas ecuaciones son las mismas.

1.3 Solución particular y solución general

En una ecuación diofántica lineal, casi siempre hay varias soluciones, no una sola.

El método consiste en:

1. Encontrar una solución particular $(x_0; y_0)$.
2. Generar el resto de soluciones sumando y restando los coeficientes convenientemente.

Para la ecuación

$$ax + by = c$$

si $a$ y $b$ son primos entre sí y $(x_0; y_0)$ es una solución particular, entonces todas las soluciones son:

$$x = x_0 + bt$$

$$y = y_0 - at$$

donde $t$ es un entero.

Observa por qué funciona:

$$a(x_0 + bt) + b(y_0 - at) = ax_0 + abt + by_0 - abt = ax_0 + by_0 = c$$

Los términos con $t$ se cancelan.

En cambio, para la ecuación

$$ax - by = c$$

la forma es:

$$x = x_0 + bt$$

$$y = y_0 + at$$

Aquí ambos valores aumentan o ambos disminuyen.

Ejemplo:

Resolver enteros positivos la ecuación:

$$11x + 5y = 103$$

Una solución particular es $x=3$, $y=14$, porque:

$$11(3) + 5(14) = 33 + 70 = 103$$

Como es una ecuación de suma, la solución general es:

$$x = 3 + 5t$$

$$y = 14 - 11t$$

Para que $x>0$ y $y>0$, los valores de $t$ permitidos son $t=0$ y $t=1$.

Así se obtienen:

• $t=0$: $(3;14)$
• $t=1$: $(8;3)$

Si $t=-1$, $x=-2$, que ya no sirve.

El paso más importante en una ecuación diofántica es conseguir una primera solución particular. No se trata de adivinar sin orden, sino de usar criterios.

2.1 Criterio de la división cuando un coeficiente es 1

Si uno de los coeficientes es $1$, la solución particular sale inmediatamente dividiendo.

Ejemplo:

$$13x + y = 53$$

Dividimos $53$ entre $13$:

$$53 = 13(4) + 1$$

Entonces una solución particular es:

$$x = 4,\qquad y = 1$$

La ecuación queda:

$$13(4) + 1 = 53$$

A partir de ahí, la solución general es:

$$x = 4 + t$$

$$y = 1 - 13t$$

Para obtener enteros positivos se pueden tomar $t=0$, $t=-1$, $t=-2$, $t=-3$, que dan:

$$(4;1),\ (3;14),\ (2;27),\ (1;40)$$

2.2 Criterio de multiplicidad

Si en la ecuación

$$ax + by = c$$

uno de los términos y el término independiente son múltiplos de un mismo número, entonces el otro término también debe ser múltiplo de ese número.

Ejemplo:

$$5x + 6y = 50$$

Observa que $5x$ y $50$ son múltiplos de $5$. Entonces $6y$ también debe ser múltiplo de $5$.

Como $6$ y $5$ son primos entre sí, la única forma de que $6y$ sea múltiplo de $5$ es que $y$ sea múltiplo de $5$.

Probamos:

• $y=0$ → $5x=50$ → $x=10$
• $y=5$ → $5x+30=50$ → $5x=20$ → $x=4$

Si $y$ sigue aumentando, $x$ se vuelve negativo o la ecuación ya no da enteros positivos.

Este criterio permite reducir muchísimo el tanteo.

2.3 Criterio de cifras terminales

Cuando aparece un coeficiente $5$ o $10$, conviene analizar la última cifra de los términos.

Ejemplo:

$$5x + 7y = 88$$

El término $5x$ termina en $0$ o en $5$, según $x$ sea par o impar.

Para que la suma termine en $8$:

• Si $5x$ termina en $0$, entonces $7y$ debe terminar en $8$. Eso ocurre con $y=4$, porque $7(4)=28$. Reemplazando:

$$5x+28=88 \Rightarrow 5x=60 \Rightarrow x=12$$

• Si $5x$ termina en $5$, entonces $7y$ debe terminar en $3$. Eso ocurre con $y=9$, porque $7(9)=63$. Reemplazando:

$$5x+63=88 \Rightarrow 5x=25 \Rightarrow x=5$$

Así se obtienen las soluciones $(12;4)$ y $(5;9)$.

También se puede multiplicar toda la ecuación por $2$ para convertir el coeficiente $5$ en $10$, y así hacer más visible el análisis de la última cifra.

2.4 Criterio de factorización

Algunas ecuaciones tienen la forma:

$$xy + mx + ny = c$$

Es decir, aparece el producto $xy$ y también términos lineales en $x$ e $y$.

En este caso se busca transformar la expresión en un producto de dos factores.

La técnica es sumar $mn$ a ambos lados:

$$xy + mx + ny + mn = c + mn$$

$$(x+n)(y+m) = c + mn$$

Ejemplo:

$$xy + 3x + 4y = 42$$

Aquí $m=3$, $n=4$. Sumamos $mn=12$ a ambos lados:

$$xy + 3x + 4y + 12 = 54$$

$$(x+4)(y+3)=54$$

Ahora buscamos pares de divisores de $54$.

Los pares positivos de $54$ son:

$$1\times 54,\ 2\times 27,\ 3\times 18,\ 6\times 9,\ 9\times 6,\ 18\times 3,\ 27\times 2,\ 54\times 1$$

Además $x+4>4$ y $y+3>3$, así que solo sirven:

• $x+4=6,\ y+3=9$ → $x=2,\ y=6$
• $x+4=9,\ y+3=6$ → $x=5,\ y=3$

Por lo tanto, las soluciones enteras positivas son $(2;6)$ y $(5;3)$.

Esta técnica es especialmente útil cuando el problema involucra rectángulos, áreas y perímetros con dimensiones enteras.

En admisión también aparecen ecuaciones con tres o más variables.

La forma general es:

$$ax+by+cz = N$$

donde $x$, $y$, $z$ son cantidades enteras.

Si además se conoce el total de objetos:

$$x+y+z = T$$

entonces tenemos un sistema de dos ecuaciones. La estrategia más útil es eliminar una variable para reducirlo a una ecuación diofántica de dos incógnitas.

Ejemplo breve:

$$\begin{cases} x+y+z=10\\ 2x+3y+5z=33 \end{cases}$$

Multiplicamos la primera ecuación por $2$:

$$2x+2y+2z=20$$

Se la restamos a la segunda:

$$(2x+3y+5z) - (2x+2y+2z) = 33-20$$

$$y + 3z = 13$$

Ahora se resuelve como una ecuación diofántica de dos variables.

Si no se conoce el total de objetos, se puede fijar el valor de una variable y resolver la ecuación resultante de dos variables.

4.1 La ecuación $xy=N$

Cuando el problema dice que hay una cantidad exacta de objetos repartidos en cajas con igual número de unidades, aparece una ecuación de producto:

$$xy=N$$

donde $x$ y $y$ son enteros.

En ese caso, $x$ e $y$ son divisores complementarios de $N$.

Por ejemplo, si:

$$xy = 60$$

los pares posibles son:

$$(1;60),\ (2;30),\ (3;20),\ (4;15),\ (5;12),\ (6;10)$$

y sus simétricos.

Por eso, para resolver muchos problemas de reparto exacto, basta factorizar el número total y buscar divisores que cumplan las condiciones.

4.2 Problemas de restos y “falta” una cantidad

Otro tipo de problemas dice:

“Si cuento de $a$ en $a$, sobran $r$”.

Eso significa que la cantidad $N$ es:

$$N = \dot{a} + r$$

es decir, $N$ deja residuo $r$ al dividirse entre $a$.

Si los restos son todos “casi un múltiplo”, conviene completar.

Ejemplo:

Una cantidad $N$ se agrupa de 5 en 5 y sobran 4; de 7 en 7 y sobran 6; de 9 en 9 y sobran 8.

Observa que en cada caso falta $1$ para completar un grupo:

$$N = \dot{5}-1,\qquad N = \dot{7}-1,\qquad N = \dot{9}-1$$

Entonces:

$$N+1$$

es múltiplo común de $5$, $7$ y $9$.

El menor múltiplo común es:

$$\operatorname{MCM}(5;7;9)=315$$

Por lo tanto:

$$N+1=315 \Rightarrow N=314$$

Esa es la idea que resuelve muchos problemas de conteo con restos.

Si el problema dice “necesito comprar $k$ más para repartir exactamente”, significa:

$$N+k$$

es múltiplo del divisor.

4.3 MCD y MCM en problemas de distribución y coincidencias

Cuando se reparten totales en cajas o paquetes iguales, el número de unidades por grupo debe ser un divisor común.

Ejemplo:

Si tres personas compran cajas todas con el mismo número de platos y obtienen $55$, $88$ y $99$ platos, entonces el número de platos por caja debe dividir a los tres totales.

El MCD de $55$, $88$ y $99$ es $11$.

En cambio, si dos líneas aéreas salen cada $45$ y $30$ minutos, volverán a coincidir en un múltiplo común de $45$ y $30$:

$$\operatorname{MCM}(45;30)=90$$

Por eso la coincidencia se repite cada $90$ minutos.

Muchos problemas no solo piden resolver la ecuación diofántica, sino elegir la solución que hace máxima o mínima una cantidad.

El procedimiento es:

1. Plantear la ecuación.
2. Hallar la solución general.
3. Escribir la cantidad que se quiere optimizar como una expresión en función de $t$.
4. Ver qué valores de $t$ son permitidos por las restricciones.
5. Evaluar los extremos.

Ejemplo típico:

$$7x+9y=410$$

Si se pide minimizar $x+y$, no conviene ponerse a probar todas las soluciones al azar.

Primero se analiza módulo $7$:

$$9y \equiv 410 \pmod{7}$$

Como $410$ deja residuo $4$ al dividirlo entre $7$, se tiene:

$$2y \equiv 4 \pmod{7}$$

$$y \equiv 2 \pmod{7}$$

Entonces $y$ puede ser $2,9,16,23,\dots$

Luego se calcula $x$ en cada caso:

$$x = \frac{410-9y}{7}$$

Solo interesan los valores de $y$ que hacen que $x$ sea entero no negativo. A partir de ahí se comparan los totales $x+y$.

Esta lógica se aplicó en problemas de palitos de 7 cm y 9 cm para formar una longitud exacta.

Cuando enfrentes un problema de este tema, pregúntate qué tipo de información te da: