Inductivo numérico y gráfico 1

¿Qué es y cuándo se aplica?

El razonamiento inductivo consiste en analizar al menos tres casos particulares que conserven la misma estructura que el caso general, hasta descubrir una ley que permita calcular el valor pedido sin realizar todo el trabajo.

Se aplica especialmente cuando un problema tiene estas dos características:

1. Presenta una formación recurrente: una secuencia de figuras, un número con muchas cifras repetidas, un arreglo que crece de manera regular.
2. Su desarrollo directo es demasiado operativo: dibujar todas las figuras, multiplicar cientos de cifras o contar uno por uno sería muy largo.

Pasos del método inductivo

1. Identificar el caso general que se pide (figura $n$, cantidad de cifras, término de una sucesión, etc.).
2. Elegir casos particulares pequeños y análogos: primer caso, segundo caso, tercer caso.
3. Calcular o contar con precisión en cada caso particular.
4. Relacionar cada resultado con el número de caso ($n=1, 2, 3, \ldots$).
5. Conjeturar la fórmula general y, si es posible, verificarla con un cuarto caso.
6. Aplicar la fórmula al caso pedido.

Ejemplo inmediato: si se pide la suma de cifras de

$$(333\cdots 333)^2$$

con 100 cifras, no se eleva al cuadrado directamente. Se analizan casos pequeños:

Luego se concluye que para un número con $n$ cifras, la suma de cifras de su cuadrado es $9n$. Para 100 cifras, la respuesta sería $9\cdot 100 = 900$.

La razón de que el patrón funcione es que

$$(333\cdots333)^2 = 111\cdots1110888\cdots8889$$

con $(n-1)$ unos, un cero, $(n-1)$ ochos y un 9; al sumar las cifras se obtiene $9n$.

En los problemas de inducción, muchas leyes de formación se apoyan en sucesiones conocidas. Conviene dominarlas.

Progresión aritmética

Si una secuencia crece o decrece sumando o restando una cantidad fija, es una PA.

Ejemplo: $4; 7; 10; 13; \ldots$

Aquí $d = 3$, $a_1 = 4$. Entonces:

$$a_n = 4 + 3(n-1) = 3n+1$$

Así, el término 20 es $3(20)+1=61$.

Progresión geométrica

Si cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, es una PG.

Ejemplo: $1; 2; 4; 8; 16; \ldots$

Aquí $q = 2$, $a_1 = 1$, por lo que:

$$a_n = 2^{n-1}$$

La suma de los primeros $n$ términos es:

$$S_n = 2^n - 1$$

Sucesiones con recurrencia

No siempre la relación es simple. Muchas veces se combinan multiplicación y suma.

Ejemplo: $3; 8; 23; 68; \ldots$

Observamos:

$$3\cdot 3 - 1 = 8$$ $$8\cdot 3 - 1 = 23$$ $$23\cdot 3 - 1 = 68$$

La regla es: multiplicar por 3 y restar 1. El siguiente término:

$$68\cdot 3 - 1 = 203$$

Cuadrados, cubos y otras sucesiones notables

La tabla siguiente reúne las sucesiones más usadas en secuencias gráficas:

Sucesiones algebraicas y logarítmicas

En admisión también aparecen sucesiones con expresiones algebraicas o logaritmos. La clave es separar la sucesión en partes y analizar cada una por separado.

Ejemplo: en $(2x)^{x-1}; (4x)^{x+1}; (12x)^{x+3}; (48x)^{x+5}; \ldots$

• Coeficientes: $2; 4; 12; 48; \ldots$ se multiplican por $2, 3, 4, \ldots$; el siguiente se multiplica por 5: $48\cdot 5 = 240$.
• Exponentes de $x$: $x-1; x+1; x+3; x+5; \ldots$ aumentan de 2 en 2; el siguiente es $x+7$.

Luego el siguiente término debe ser $(240x)^{x+7}$.

En sucesiones con logaritmos, conviene observar los argumentos.

Ejemplo: $\log 4; \log 9; \log 25; \log 49; \ldots$

Los argumentos son $4=2^2,\; 9=3^2,\; 25=5^2,\; 49=7^2$, es decir, cuadrados de números primos consecutivos. Si se pide ubicar $\log a^2$ con $11<a<17$, se reconoce que $a=13$.

Aquí entran los problemas de gran operatividad con cifras repetidas, raíces de productos consecutivos y sumas de cifras.

Operaciones con cifras repetidas

La técnica general es reducir el número de cifras manteniendo la misma estructura. Por ejemplo, si el problema tiene 100 cifras, se analizan casos con 1, 2, 3 y 4 cifras.

Ya vimos el cuadrado de $333\cdots333$. Otro caso frecuente es el cuadrado de números formados por cifras 6 o 9:

• Para $66\cdots66^2$: $$6^2 = 36 \quad \text{(suma de cifras } 9\text{)}$$ $$66^2 = 4356 \quad \text{(suma de cifras } 18\text{)}$$ $$666^2 = 443556 \quad \text{(suma de cifras } 27\text{)}$$ En general, para $n$ cifras, la suma de cifras es $9n$.

• Para $99\cdots99^2$: $$9^2 = 81 \quad \text{(suma de cifras } 9\text{)}$$ $$99^2 = 9801 \quad \text{(suma de cifras } 18\text{)}$$ $$999^2 = 998001 \quad \text{(suma de cifras } 27\text{)}$$ También se cumple la suma $9n$.

La regularidad se justifica por la forma que toman los productos:

$$(333\cdots333)^2 = 111\cdots1110888\cdots8889$$

$$(666\cdots666)^2 = 444\cdots4443555\cdots5556$$

$$(999\cdots999)^2 = 999\cdots9998000\cdots0001$$

En todos ellos, al sumar las cifras, los términos se combinan y dan $9n$.

También se pueden presentar productos o restas entre números de cifras repetidas. Por ejemplo, productos del tipo

$$(222\cdots222)(999\cdots999)$$

se analizan de la misma manera:

$$2 \times 9 = 18 \quad (\text{suma de cifras } 9)$$ $$22 \times 99 = 2178 \quad (\text{suma de cifras } 18)$$ $$222 \times 999 = 221778 \quad (\text{suma de cifras } 27)$$

La conclusión es otra vez una suma de cifras igual a $9n$.

Raíces de productos consecutivos

Un patrón muy útil es el siguiente:

$$\sqrt[3]{1\cdot 2\cdot 3 + 2} = \sqrt[3]{8} = 2$$ $$\sqrt[3]{2\cdot 3\cdot 4 + 3} = \sqrt[3]{27} = 3$$ $$\sqrt[3]{3\cdot 4\cdot 5 + 4} = \sqrt[3]{64} = 4$$

En general:

$$\sqrt[3]{n(n+1)(n+2) + (n+1)} = n+1$$

Esto se debe a que:

$$n(n+1)(n+2) + (n+1) = (n+1)\left[n(n+2)+1\right] = (n+1)(n^2+2n+1) = (n+1)^3$$

Así, si se pide

$$\sqrt[3]{2022\cdot 2023\cdot 2024 + 2023}$$

se reconoce que $n = 2022$, por lo que el resultado es $2023$.

Este tipo de identidad no se memoriza de forma rígida; se puede descubrir por inducción. De hecho, en las prácticas de este curso se incluye con frecuencia.

Este es el bloque más extenso y el que más ha sido evaluado en admisión. La idea general es siempre la misma: no dibujar la figura grande, sino contar los primeros casos y extrapolar.

Método general para figuras

1. Identificar cuántas figuras de la secuencia se ven: figura 1, figura 2, figura 3...
2. Contar el atributo pedido en cada una: número de círculos, cuadrados, palitos, fichas, triángulos, etc.
3. Construir una tabla:

4. Reconocer la sucesión formada por $a_1, a_2, a_3, \ldots$.
5. Explicitar $a_n$ y evaluar en $n$ pedido.

Veamos las disposiciones más frecuentes.

Disposiciones triangulares

Si los elementos se acomodan en filas crecientes: 1 en la primera fila, 2 en la segunda, 3 en la tercera, etc., la cantidad total en la figura $n$ es:

$$1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Es el caso de los números triangulares.

Para la figura 20:

$$\frac{20\cdot 21}{2} = 210$$

Disposiciones rectangulares

Si la figura $n$ es un rectángulo de $n$ por $n+1$ elementos, la cantidad total es:

$$n(n+1)$$

Los primeros valores son $2; 6; 12; 20; \ldots$

En la figura $n$, cada número rectangular también se puede ver como el doble de un número triangular:

$$n(n+1) = 2\cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

Disposiciones cuadradas y cúbicas

Si la figura $n$ es un cuadrado de $n \times n$ elementos:

$$\text{cantidad} = n^2$$

Si es un cubo de $n \times n \times n$:

$$\text{cantidad} = n^3$$

Torres escalonadas y superficies

En problemas con cubos, no solo se pregunta cuántos cubos hay, sino también el área de la superficie exterior.

Un caso muy evaluado es la torre escalonada de base cuadrada. La figura $n$ tiene $n$ niveles: el nivel inferior tiene $n \times n$ cubos, el siguiente $(n-1)\times(n-1)$, y así sucesivamente hasta un cubo en la punta.

Para calcular el área exterior, incluida la base, se descompone en vistas:

• Vista superior: se ven las caras superiores de todos los escalones; su área total es $n^2$.
• Vista inferior: se ve la base inferior; su área es $n^2$.
• Vistas laterales: hay 4 lados. En cada lado se observa un perfil escalonado con $1+2+\cdots+n$ cuadrados visibles.

Entonces, el área exterior total de la figura $n$ es:

$$2n^2 + 4\left(1+2+\cdots+n\right) = 2n^2 + 4\cdot \frac{n(n+1)}{2} = 4n^2 + 2n$$

Para $n=5$:

$$4(5)^2 + 2(5) = 100 + 10 = 110$$

Palitos, cerillos y segmentos

En una secuencia de figuras formadas por palitos, la clave es descomponer la figura en partes que crecen de manera regular.

Ejemplo clásico: una fila de $n$ cuadrados adosados.

• Para 1 cuadrado: 4 palitos.
• Para 2 cuadrados: 7 palitos.
• Para 3 cuadrados: 10 palitos.

La sucesión es $4; 7; 10; \ldots$ con diferencia $3$. Entonces:

$$a_n = 3n+1$$

La justificación es que el primer cuadrado usa 4 palitos y cada cuadrado adicional agrega 3 palitos.

Puntos de tangencia y contactos

Cuando se tienen monedas o círculos congruentes en contacto, los puntos de tangencia son los puntos donde dos círculos se tocan.

Para un arreglo triangular de $n$ filas:

Se cuentan dos tipos de contactos:

1. Contactos horizontales: dentro de cada fila, una fila con $i$ monedas tiene $i-1$ contactos.
2. Contactos oblicuos: entre una fila superior de $i$ monedas y una fila inferior de $i+1$ monedas hay $2i$ contactos.

Así, el total para $n$ filas es:

$$\sum_{i=1}^{n}(i-1) + \sum_{i=1}^{n-1} 2i = \frac{3n(n-1)}{2}$$

De nuevo, no es imprescindible memorizar la fórmula; la estrategia es contar los primeros casos y reconocer la sucesión.

Conteo de figuras dentro de una secuencia

No es lo mismo contar el número de círculos o piezas que contar cuadrados de todo tamaño dentro de una figura. En el segundo caso hay que considerar también los cuadrados formados por varias piezas.

Por ejemplo, en un retículo cuadrado de $n \times n$ cuadraditos, el número total de cuadrados de todos los tamaños es:

$$1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Para $n=7$:

$$\frac{7\cdot 8\cdot 15}{6} = 140$$

Si la figura no es exactamente un cuadrado $n \times n$, se cuentan los casos particulares y se construye la sucesión.

Lectura de palabras en arreglos

Algunas preguntas presentan un arreglo triangular de letras y piden determinar de cuántas maneras se puede leer una palabra siguiendo distancias iguales.

La idea es contar rutas. En un arreglo triangular simétrico, cada letra se conecta con dos letras de la fila siguiente; por cada paso se duplican las posibilidades. Si la palabra tiene $k$ letras, típicamente hay:

$$2^{k-1}$$

rutas, si no hay restricciones adicionales. Si hay letras repetidas, se debe analizar la estructura concreta.

Sucesiones de costos y áreas

También se presentan problemas en los que una magnitud (costo, área, número de elementos) crece según una sucesión cuadrática. Aquí conviene usar diferencias sucesivas.

Ejemplo: los costos para cercar áreas de $1, 4, 9, 16$ m² son $40; 120; 240; 400$.

Como la segunda diferencia es constante, la sucesión es cuadrática. Entonces el siguiente costo para $25$ m² sería $400+200=600$, y para $36$ m² sería $600+240=840$.