Elementos recreativos 2 (situaciones con dados)

Un dado convencional, también llamado normal o corriente, es un cubo con estas características:

1. Tiene los puntajes del $1$ al $6$.
2. La suma de los puntajes de todas sus caras es $21$.
3. Las caras opuestas suman $7$.

La relación de caras opuestas se puede ordenar así:

Esta tabla es la herramienta más importante. Por ejemplo:

• Si la cara superior de un dado es $2$, la cara inferior es $5$.
• Si una cara visible es $6$, la cara opuesta no visible es $1$.
• Si se ven juntas tres caras $1$, $3$ y $5$, sus opuestas son $6$, $4$ y $2$, respectivamente.

Observa un punto clave: cuando ves una cara, su opuesta queda completamente determinada. La verdadera dificultad aparece cuando una cara oculta no es opuesta a ninguna cara visible que conozcamos; en ese caso su valor puede variar, y allí entran los problemas de máximo o mínimo.

Un error común es aplicar esta regla a cualquier cubo. No: la regla de opuestos que suman $7$ es solo para dados convencionales. Si el problema dice que se trata de un cubo con números del $2$ al $7$, o con caras repetidas, no puedes usar esa relación directamente; deberás deducir las caras opuestas a partir de las vistas.

Muchos problemas con dados preguntan cuántos puntos son visibles o no visibles para una persona.

Lo primero es entender qué significa “no visible” según el tipo de situación.

Caso 1: Dados apoyados sobre una mesa no transparente

Cuando un dado está apoyado sobre una mesa no transparente, la cara inferior no se ve, porque está en contacto con la mesa. Las demás caras sí pueden considerarse visibles si la persona puede moverse alrededor de la mesa; en muchos problemas de admisión se trabaja así.

Para un dado suelto:

$$\text{Puntos visibles} = 21 - \text{puntos de la cara inferior}.$$

Si la cara superior es $a$, entonces la inferior es $7-a$. Por lo tanto, los puntos visibles de un dado suelto son

$$21 - (7-a) = 14 + a.$$

Interesante: en un dado solitario sobre la mesa, los puntos visibles dependen directamente de la cara superior. Así, si la cara superior es $6$, la inferior es $1$ y los visibles suman $20$.

Caso 2: Varios dados juntos, apilados o en contacto

Cuando hay varios dados juntos, aparecen más caras no visibles: las caras que están en contacto entre dos dados, además de las que están en contacto con la mesa.

La fórmula general es:

$$\text{Puntos no visibles} = \text{Total de puntos} - \text{Puntos visibles}.$$

Si hay $n$ dados convencionales, el total de puntos es

$$21n.$$

Entonces:

$$\text{Puntos no visibles} = 21n - \text{Puntos visibles}.$$

Para maximizar los no visibles, hay que minimizar los visibles; para minimizar los no visibles, hay que maximizar los visibles.

¿Cómo elegir valores extremos?

Este es el razonamiento central:

• Si una cara oculta es opuesta a una cara visible, su valor ya está fijo.
• Si una cara oculta no está determinada por la información, puede tomar varios valores; entonces elegimos el mayor o el menor posible según lo pida el problema.

Por ejemplo, si en un dado se ve la cara superior $1$, la cara inferior es $6$, y no se puede cambiar. Pero si además hay una cara lateral oculta de la que no se sabe nada, su opuesta no está visible, así que puede elegirse convenientemente.

En una mesa no transparente, por ejemplo, si lanzas seis dados y las caras superiores son conocidas, las caras inferiores quedan automáticamente determinadas. Por eso muchos problemas piden el máximo o mínimo de puntos visibles imponiendo condiciones sobre las caras superiores.

Cuando los dados están apilados o en contacto lateral, aparecen interfaces de contacto: dos caras que están pegadas entre sí y, por lo tanto, no son visibles.

En una pila vertical:

• La cara superior de un dado inferior puede estar en contacto con la cara inferior del dado que está encima.
• Ambas caras quedan ocultas.
• La mesa oculta la cara inferior del dado de la base.

En una fila horizontal:

• La cara derecha de un dado puede estar en contacto con la cara izquierda del siguiente.
• Ambas quedan ocultas.
• La mesa oculta las caras inferiores de todos los dados.

Para resolver este tipo de situaciones, conviene analizar dado por dado y marcar:

1. Las caras visibles que se ven en el gráfico.
2. Las caras opuestas a las visibles, que ya quedan determinadas.
3. Las caras que están en contacto con otro dado o con la mesa.
4. Las caras no determinadas, sobre las cuales se optimiza.

Un detalle importante: si en el problema se afirma que las caras en contacto cumplen una condición especial, debes usar esa condición como un dato adicional.

Por ejemplo, si se dice que “cualquier par de caras en contacto suma $6$”, eso no es la regla general del dado convencional, sino una regla particular del problema. Entonces cada contacto cumple $x+y=6$, y eso fija o restringe las caras ocultas.

Otro tipo de pregunta frecuente es el del dado que rueda sin deslizarse sobre una cuadrícula o trayectoria formada por casillas congruentes con sus caras.

Aquí ya no basta mirar caras ocultas: hay que seguir la orientación del dado paso a paso.

Notación para seguir la orientación

Conviene elegir tres caras que forman un triedro visible y hacerles seguimiento:

• $T$: cara superior.
• $F$: cara frontal.
• $R$: cara derecha.

Sus opuestas son:

• $T^* = 7-T$: cara inferior.
• $F^* = 7-F$: cara posterior.
• $R^* = 7-R$: cara izquierda.

La cara que está en contacto con la casilla es la inferior $T^*$.

Reglas de transformación al rodar

Considera el movimiento visto desde arriba, es decir, en el plano de la trayectoria:

Estas reglas se deducen de imaginar el giro de $90^\circ$ alrededor de la arista correspondiente. No hace falta memorizarlas sin sentido: al rodar hacia adelante, la cara frontal pasa a ser inferior, la superior pasa a ser frontal, la posterior pasa a ser superior y la inferior pasa a ser posterior.

Método paso a paso

1. Coloca el dado en la casilla inicial con la orientación que indica el gráfico. Identifica $T,F,R$.
2. Sigue el camino una casilla a la vez.
3. En cada movimiento, usa la tabla anterior.
4. Si te piden la cara superior en una casilla, da el valor de $T$.
5. Si te piden la cara en contacto con la casilla, da el valor de $T^*=7-T$.

Ejemplo breve

Un dado inicia con $T=1$, $F=2$, $R=3$. Si rueda una vez hacia adelante:

• $T' = F^* = 7-2 = 5$,
• $F' = T = 1$,
• $R' = R = 3$.

Ahora la cara superior es $5$ y la cara en contacto con la casilla es $T'^*=2$.

Este método es muy seguro. Aunque el camino se repita o vuelva sobre una casilla, debes continuar actualizando la orientación.

Un detalle que suele aparecer: no asumas que al regresar a una casilla el dado vuelve a su orientación inicial. Después de una vuelta completa por un circuito, el dado puede quedar girado de manera distinta. Por eso, en preguntas donde el dado pasa dos veces por una misma casilla, debes registrar la orientación en la primera pasada, continuar el recorrido completo y registrar la orientación en la segunda pasada.

Cuando dos dados ruedan simultáneamente con la misma rapidez, simplemente avanzan una casilla por unidad de tiempo. Para comparar, calcula cuántos pasos ha dado cada uno hasta llegar a la casilla pedida y aplica el método a cada dado por separado.

No todos los problemas usan un dado convencional. A veces se presentan cubos con los números $2,3,4,5,6,7$, o cubos con caras repetidas, o fichas cúbicas con letras y números.

En estos casos no se aplica la regla de que las caras opuestas suman $7$. Debemos deducir las caras opuestas a partir de las vistas.

Idea clave

En una vista de un cubo se ven tres caras que concurren en un vértice. Esas tres caras son adyacentes entre sí; por lo tanto, ninguna de ellas es opuesta a otra.

Si un número aparece junto a otros en varias vistas, esos otros no pueden ser su opuesto. Al eliminar todas las posibilidades, el opuesto queda identificado.

Método

1. Escribe los números que aparecen en las caras del cubo.
2. Lee cada vista y anota qué números aparecen juntos.
3. Para cada número, descarta como posible opuesto a todos los que aparecen junto a él.
4. Si un número queda con una sola posibilidad, esa es su cara opuesta.

Por ejemplo, si se tienen las vistas:

$$(1,2,3), \quad (1,4,5), \quad (3,4,6),$$

entonces:

• El $1$ aparece con $2,3,4,5$; luego su opuesto no puede ser $2,3,4,5$. Solo queda el $6$. Por tanto, $1$ es opuesto a $6$.
• El $3$ aparece con $1,2,4,6$; no puede ser opuesto a $1,2,4,6$. Solo queda el $5$. Por tanto, $3$ es opuesto a $5$.
• Los restantes son $2$ y $4$, que quedan como opuestos.

Este procedimiento también sirve para cubos con caras repetidas, aunque allí hay que tener más cuidado porque puede haber dos caras con el mismo puntaje.

Otro grupo importante de preguntas no requiere armar o rodar dados, sino lanzarlos y analizar los resultados.

6.1. Rango de totales posibles

Si se lanza un dado convencional $n$ veces, la suma de las caras superiores $S$ cumple:

$$n \le S \le 6n.$$

Si solo se obtienen resultados impares, los valores posibles son $1,3,5$. Entonces el total máximo ya no es $6n$, sino:

$$5n.$$

Si solo se obtienen resultados pares, los valores posibles son $2,4,6$, y el máximo total es $6n$, pero el mínimo es $2n$.

Esta idea permite encontrar el número de lanzamientos cuando se conoce el máximo total posible.

6.2. Frecuencias y ecuaciones

Cuando el problema dice cuántas veces salió un puntaje y pregunta cuántas salió otro, conviene:

1. Llamar $x$, $y$, etc., a las cantidades desconocidas.
2. Plantear una ecuación con el número total de lanzamientos.
3. Plantear una ecuación con la suma total.

Por ejemplo, si en un dado lanzado $n$ veces solo se obtienen pares y el máximo total posible es $48$, entonces $6n=48$, de donde $n=8$. A partir de allí se pueden plantear las ecuaciones.

6.3. Caras superiores distintas

Cuando se dice que varios dados muestran puntajes distintos, conviene elegir combinaciones de números del $1$ al $6$.

Si son $4$ dados y sus puntajes superiores suman $17$, se puede pensar así: elegir $4$ números distintos del $1$ al $6$ es equivalente a descartar $2$ números del total $1+2+3+4+5+6=21$. Los dos descartados suman:

$$21 - 17 = 4.$$

El único par de números distintos entre $1$ y $6$ que suma $4$ es $1$ y $3$. Entonces los puntajes superiores son $2,4,5,6$.

6.4. Suma de cifras de un producto

A veces no se pide directamente una suma, sino la suma de cifras de un producto.

La suma de cifras más pequeña de un entero positivo es $1$. Con tres dados, el producto máximo es

$$6\cdot 6\cdot 6 = 216.$$

Los números positivos no mayores que $216$ cuyas cifras suman $1$ son $1$, $10$ y $100$. Factoricemos cada uno como producto de tres puntajes de dado:

• $1 = 1\cdot 1\cdot 1$.
• $10 = 1\cdot 2\cdot 5$.
• $100 = 4\cdot 5\cdot 5$.

De allí se elige el caso que corresponda según lo que pida el problema.

6.5. Cuadrados perfectos y cubos perfectos

Este tipo de preguntas exige conocer los cuadrados y cubos posibles.

Para $5$ dados, el total máximo es $30$. Los cuadrados perfectos de dos cifras que pueden obtenerse son:

$$16,\ 25.$$

Para $4$ dados, el total mínimo es $4$. Los cubos perfectos de una cifra son $1$ y $8$; como el mínimo es $4$, el total debe ser $8$.

Estos rangos permiten acotar los puntajes individuales.

6.6. Fracciones propias y reducibles

Si dos dados generan una fracción $\frac{a}{b}$ con $a$ como numerador y $b$ como denominador, recuerda:

• Propia: $a < b$.
• Reducible: $\gcd(a,b)>1$.

Con valores del $1$ al $6$, las fracciones propias y reducibles se pueden listar para analizar máximos o mínimos.

6.7. Juegos con pagos o recompensas

Cuando el juego asigna dinero o puntos según el puntaje, conviene construir una tabla.

Por ejemplo, si un número primo impar recibe el doble de su puntaje, los primos impares en un dado son $3$ y $5$. Los demás reciben su propio valor.

A partir de esta tabla, las condiciones del problema se convierten en restricciones sobre puntajes.