Dobleces y armado de figuras planas con piezas poligonales

1.1. ¿Qué ocurre realmente cuando se dobla una hoja?

Cuando doblas una hoja de papel, la línea por la que se dobla funciona como un eje de simetría. Los puntos de la parte que se dobla caen exactamente sobre puntos de la parte que no se mueve. Por ejemplo, si en una hoja cuadrada se dobla una esquina, el vértice de la esquina cae sobre otro punto del papel.

Esto tiene una consecuencia muy poderosa:

La línea de doblez es la mediatriz del segmento que une cada punto que se mueve con el punto donde cae.

¿Por qué? Porque la línea de doblez está formada por los puntos del papel que no se mueven. Para que un punto $P$ caiga sobre un punto $Q$ al doblar, cualquier punto de la línea debe estar a la misma distancia de $P$ y de $Q$. Esa es exactamente la definición de mediatriz.

Por eso, en los problemas de dobleces:

• Si se dobla un vértice para que coincida con otro, la línea de doblez es la mediatriz del segmento que los une.
• Las partes que se superponen son congruentes, porque la mitad doblada es el reflejo de la otra.
• Las longitudes, ángulos y áreas de las regiones dobladas se conservan.

En la situación descrita, el triángulo sombreado que se dobla es rectángulo isósceles. Sus catetos miden $6$ cm, porque la mediatriz de $C$ y $O$ corta los lados justo en sus puntos medios. Por lo tanto, su área es: $$A=\frac{6\cdot 6}{2}=18\text{ cm}^2.$$

1.2. Doblar un punto hasta otro punto

El procedimiento general para resolver problemas de dobleces con medidas es:

1. Ubicar el punto que se mueve y el punto donde debe caer.
2. Trazar la línea de doblez como mediatriz del segmento que une esos dos puntos.
3. Encontrar las intersecciones de la línea de doblez con los lados de la hoja.
4. Calcular longitudes o áreas usando Pitágoras, semejanza o simplemente el área de triángulos.

Si la hoja es un rectángulo, muchas veces conviene colocarla sobre un sistema de coordenadas con un vértice en el origen.

Este tipo de pregunta es una alerta: no siempre hay que hacer un cálculo sofisticado. A veces el área pedida es simplemente la mitad del rectángulo, o un triángulo rectángulo cuyos catetos se leen directamente de los datos.

1.3. Área visible y área superpuesta

Cuando hay un doblez, el área total del papel no cambia. Pero si se pide el área de la región visible contando una sola capa, hay que descontar la parte que queda superpuesta.

Si una porción de área $S$ se dobla sobre el resto del papel, entonces:

• La zona de doble capa tiene área geométrica $S$.
• El área visible total es: $$\text{área original del papel} - S.$$

Esto se debe a que, al superponerse, la porción doblada oculta una parte equivalente del papel original. Es un error común sumar o restar de más.

2.1. Desarrollo de una caja abierta

Una caja abierta, como las cajas de cartón sin tapa, está formada por:

• una base,
• cuatro caras laterales.

Cuando el cartón está extendido sobre la mesa, antes de armarlo, se llama desarrollo de la caja. Las líneas punteadas indican por dónde se dobla.

En un desarrollo de caja abierta hecho con regiones cuadradas, lo más cómodo es imaginar que se levantan las caras laterales alrededor de la base.

Al plegar este desarrollo:

• Los cuatro cuadrados laterales se levantan.
• El cuadrado central queda en la parte inferior.
• Si la caja se apoya sobre una mesa con la abertura hacia arriba, el cuadrado central es la base.

Este es el caso más sencillo. Pero los desarrollos de cajas no siempre son una cruz perfecta; a veces los cuadrados laterales están desplazados. Por eso conviene tener un método.

2.2. Método para identificar la base

Cuando te pregunten qué región es la base de una caja abierta, puedes hacer lo siguiente:

1. Observa todas las regiones cuadradas y sus uniones.
2. Elige mentalmente un cuadrado como posible base.
3. Verifica si las caras que están unidas a sus lados pueden levantarse sin superponerse.
4. La base correcta es la que, una vez armada la caja, queda en el lado opuesto a la abertura.

Un criterio útil: la base suele ser la región que tiene cuatro líneas de doblez a su alrededor, es decir, cuatro caras laterales pegadas a sus lados. Si una región solo tiene una o dos piezas adosadas, probablemente sea una cara lateral.

Este tipo de razonamiento espacial se automatiza con práctica: plegar mentalmente el desarrollo y preguntarse qué cara queda apoyada sobre la mesa.

2.3. Desarrollos de cubos y dados

Aunque la pregunta de San Marcos se centró en una caja abierta, los libros de preparación y los cursos de razonamiento abstracto suelen ampliar la idea a cubos cerrados. Un cubo tiene seis caras cuadradas; su desarrollo es una figura plana formada por seis cuadrados unidos por lados.

Algunas ideas importantes para desarrollos de cubos:

• No cualquier arreglo de seis cuadrados forma un cubo; al plegarlos no deben quedar dos caras superpuestas.
• En una fila de tres cuadrados, el primer y el tercer cuadrado serán caras opuestas del cubo.
• Las caras que comparten un lado en el desarrollo serán caras adyacentes en el cubo.
• En un dado estándar, las caras opuestas suman $7$.

Si se presentan varias posiciones de un cubo con figuras en sus caras, para hallar qué figura está opuesta a otra se busca qué figura no aparece junto a ella en ninguna posición. Las caras que comparten un vértice visible nunca pueden ser opuestas entre sí.

3.1. Piezas armadas con cuadraditos

Muchos problemas de este tema usan fichas formadas por cuadrados congruentes adosados por lados completos. Por ejemplo:

• un cuadradito suelto;
• una ficha recta de cuatro cuadraditos;
• una ficha en forma de L de cuatro cuadraditos.

A estas piezas, cuando están formadas por cuatro cuadrados, se les llama tetrominós. Son simplemente piezas planas de cuatro cuadrados unitarios.

Trabajar con estas piezas se facilita muchísimo si reduces toda la información a una cuadrícula. Si cada cuadradito tiene lado $u$, entonces:

• el área de un cuadradito es $u^2$;
• la ficha de cuatro cuadraditos tiene área $4u^2$;
• el perímetro se mide contando lados exteriores y multiplicando por $u$.

3.2. El área total es la clave para armar rectángulos

Cuando se juntan piezas para formar un rectángulo, el área de ese rectángulo debe ser exactamente la suma de las áreas de las piezas. Este es el punto de partida de casi todos los problemas de armado.

Procedimiento general:

1. Convierte todas las piezas a unidades de cuadraditos.
2. Calcula el área total en cuadraditos: $A$.
3. Si el rectángulo tiene lados formados por líneas de la cuadrícula, sus dimensiones deben ser dos números enteros $m$ y $n$ tales que: $$m\cdot n=A.$$
4. Evalúa cuáles de esos rectángulos pueden armarse realmente con las piezas dadas.

Por ejemplo, si el área total es $18$ cuadraditos, los rectángulos posibles son:

Si además se pide el rectángulo de menor perímetro, se elige el de lados más cercanos entre sí, en este caso $3\times 6$.

¿Por qué? Para un área fija, el rectángulo más cercano a un cuadrado tiene el menor perímetro. Es una consecuencia de que $2(a+b)$ se minimiza cuando $a$ y $b$ son próximos.

En problemas con “por lo menos” dos de cada tipo, para minimizar el perímetro conviene usar la menor cantidad posible de piezas, porque agregar piezas aumenta el área y, en general, el perímetro mínimo posible también crece.

3.3. Perímetro de la unión: ¿por qué se reduce?

Si se toman dos piezas y se juntan por un lado completo, ese lado deja de formar parte del contorno exterior. Por eso, al unir dos piezas por un lado de longitud $l$, el perímetro total se reduce en $2l$.

En términos de cuadraditos:

• Cada lado compartido entre dos cuadraditos hace que dos unidades de longitud desaparezcan del perímetro.
• Mientras más lados compartidos haya, menor será el perímetro exterior.
• En un rectángulo $m\times n$ de cuadraditos, el perímetro en cuadraditos es: $$2m+2n.$$

Esta idea conecta directamente con el tema anterior de perímetros: al adosar piezas no se está creando ni destruyendo longitud, solo se está ocultando en la zona de contacto.

3.4. Seleccionar piezas para formar un rectángulo

Otro tipo de pregunta frecuente pide elegir cuáles piezas, entre varias, forman un rectángulo. Estas preguntas suelen tener restricciones como sin girarlas, es decir, solo se permite trasladarlas manteniendo su orientación original.

Método de ataque:

1. Calcula el área de cada pieza en cuadraditos.
2. Descarta rápidamente las combinaciones cuya área no pueda formar un rectángulo con dimensiones enteras.
3. Observa los bordes rectos: un rectángulo debe tener contorno completamente recto. Toda saliente en una pieza debe compensarse con una entrante de otra.
4. Si no se permite girar, la orientación queda fija. Piezas que podrían funcionar rotadas ya no sirven.
5. Verifica primero las opciones más probables. Como el examen da alternativas, puedes probar cada conjunto candidato.

La restricción “sin girarlas” es muy fuerte. Una pieza en forma de L, por ejemplo, puede encajar de una manera si se la rota, pero si está prohibido girarla, su saliente debe ubicarse exactamente donde otra pieza tenga una entrante.

3.5. Condiciones típicas en el armado

• “Adyacentes y sin superponerlas”: las piezas solo pueden tocarse por lados completos. No se permite que una pieza tape parte de otra ni que queden huecos no previstos.
• “Sin girarlas”: se prohíben rotaciones; solo traslaciones. Esto reduce las posibilidades y es una pista para descartar.
• “Por lo menos dos de cada tipo”: significa que hay un número mínimo de piezas de cada variedad. Para minimizar perímetro, normalmente se usa la cantidad mínima porque más piezas implican más área y, por lo tanto, un perímetro mínimo mayor.
• “Usando siempre”: implica que todas las piezas seleccionadas deben estar dentro de la figura; no pueden sobrar.

4.1. Para problemas de dobleces

1. Identifica qué se mueve y dónde cae.
2. Recuerda: la línea de doblez es mediatriz del segmento entre el punto inicial y el final.
3. Marca las longitudes que son iguales por simetría.
4. Usa triángulos rectángulos y Pitágoras para hallar lados desconocidos.
5. Si se pide área visible, resta la zona traslapada; si se pide área traslapada, calcula la región doblada.

Un atajo útil: cuando una pregunta de doblez muestra una región que corresponde a la mitad de un rectángulo, su área puede calcularse directamente sin desarrollar todo el doblez.

4.2. Para problemas de armado de piezas

1. Reduce todo a cuadraditos unitarios.
2. Suma áreas para hallar el área total.
3. Determina las posibles dimensiones del rectángulo.
4. Descarta inviables por restricciones de forma.
5. Si se pide perímetro, calcúlalo al final.

Atajo del perímetro mínimo: para un área fija, los lados enteros más próximos dan el menor perímetro rectangular.

4.3. Para problemas de cajas y desarrollos

1. Ubica la posible base.
2. Verifica que tenga un número suficiente de caras adosadas para levantarse.
3. Imagina el plegado completo: qué cara queda arriba, cuál queda abajo.
4. Si es un cubo o dado, usa las reglas de caras opuestas y adyacentes.