Situaciones con balanzas 2

1.1 Traducir una balanza a una ecuación

Cuando una balanza está en equilibrio y contiene objetos de varios tipos, lo primero es asignar una variable a cada tipo de objeto.

Ejemplo breve:

Supongamos que una balanza muestra:

• Izquierda: $2$ conos y $1$ esfera.
• Derecha: $1$ cono, $2$ esferas y una pesa de $40$ g.

Si $C$ es el peso de un cono y $E$ el peso de una esfera, entonces:

$$2C + E = C + 2E + 40$$

Aquí no importa aún cuánto pesa cada objeto; la ecuación ya resume toda la información de la balanza.

1.2 Cancelación y sustitución

En este tipo de problemas, las operaciones más útiles son:

• Cancelar: quitar el mismo objeto de ambos platillos.
• Sustituir: reemplazar una equivalencia ya conocida dentro de otra ecuación.

En el ejemplo anterior:

$$2C + E = C + 2E + 40$$

Restamos $C$ a ambos lados y $E$ a ambos lados:

$$C = E + 40$$

Esto significa: un cono pesa lo mismo que una esfera más 40 gramos.

Si además se sabe que $4$ conos y $3$ esferas pesan juntos $300$ g, se puede plantear:

$$4C + 3E = 300$$

Sustituyendo $C = E + 40$:

$$4(E+40) + 3E = 300$$

$$7E + 160 = 300$$

$$E = 20$$

Entonces:

$$C = 20 + 40 = 60$$

Este procedimiento de traducir, cancelar, sustituir y resolver es la base de todos los problemas de equivalencias con balanzas.

1.3 Comparaciones entre objetos

Algunas preguntas no piden calcular pesos exactos, sino saber qué relación de orden existe entre dos objetos.

Por ejemplo, si de una cadena de balanzas se obtiene:

$$2C = E + p$$

donde $p$ es un peso positivo, entonces necesariamente:

$$2C > E$$

Es decir, dos objetos $C$ pesan más que un objeto $E$.

La lógica es sencilla: si al platillo de $E$ fue necesario agregarle algo más para igualar a dos $C$, entonces dos $C$ pesan más que $E$.

Este tipo de conclusión comparativa es muy común cuando las alternativas dicen:

• «A es más pesado que B»
• «Dos A pesan más que B»
• «Tres A pesan lo mismo que B»

2.1 Sumas y diferencias en una pesada

En una balanza de dos platillos, las pesas no siempre deben colocarse en un solo lado. Eso permite obtener dos tipos inmediatos de peso en una sola pesada:

1. Suma de pesas:
   Si colocamos todas las pesas en un platillo y el producto en el otro, el producto puede pesar la suma de las pesas.

2. Diferencia de pesas:
   Si colocamos una pesa mayor en un platillo y una pesa menor junto con el producto en el otro, el producto puede pesar la diferencia.

Ejemplo con pesas de 3 kg y 7 kg:

La idea general es:

$$P = \text{suma de pesas del platillo opuesto} - \text{suma de pesas del platillo del producto}$$

Por eso, una balanza de dos platillos no solo mide sumas; también mide diferencias. Olvidar esto es uno de los errores más frecuentes.

2.2 Lo pesado también puede usarse como nueva pesa

Una estrategia muy importante es esta:

Si ya pesamos una porción del producto, esa porción tiene ahora un peso conocido y puede usarse como si fuera otra pesa.

Esto permite generar pesos que no son solo suma o diferencia de las pesas originales, sino combinaciones más complejas.

Ejemplo breve:

Con pesas de $3$ kg y $7$ kg se puede primero obtener $10$ kg. Luego, esos $10$ kg ya son un peso conocido.

En una segunda pesada, si colocamos:

• $10$ kg de arroz ya pesado más $3$ kg de pesa en un platillo,
• $7$ kg de pesa más producto en el otro platillo,

el producto debe pesar:

$$(10+3)-7 = 6 \text{ kg}$$

Así, en dos pesadas hemos acumulado:

$$10 + 6 = 16 \text{ kg}$$

Este es exactamente el tipo de razonamiento que preguntan con frecuencia.

2.3 Obligación de usar ambas pesas en cada pesada

Algunos problemas añaden una restricción:

«En cada pesada se deben usar las dos pesas.»

Esto cambia la solución, porque no se permite hacer una pesada con una sola pesa, aunque algebraicamente fuera más simple.

Cuando aparece esta restricción, se debe verificar que cada pesada pueda representarse mediante una ecuación en la que aparezcan las dos pesas originales.

Ejemplo comparativo:

Con pesas de $2$ kg y $5$ kg, si se pide $1$ kg de azúcar:

• Sin restricción, se puede obtener $3$ kg en una primera pesada usando ambas: $$P + 2 = 5$$ Luego, usando solo la pesa de $2$ kg y esos $3$ kg, se obtiene $1$ kg: $$P + 2 = 3$$

• Con restricción de usar ambas en todas las pesadas, hay que crear un peso intermedio adicional para que la segunda y tercera pesadas también usen ambas pesas.

La restricción obliga a pensar no solo en el peso final, sino también en cómo ocupar todas las pesas en cada operación.

2.4 Variante: no se puede usar lo pesado como pesa

Hay problemas que dicen expresamente:

«Los objetos pesados no pueden ser usados como pesas.»

En ese caso, lo único que se puede usar como peso conocido son las pesas originales. Ya no se puede reciclar la porción pesada.

Esto reduce las posibilidades. Por ejemplo, con pesas de $3$ kg y $5$ kg, en una balanza de dos platillos se pueden obtener directamente:

• $3$ kg,
• $5$ kg,
• $3+5=8$ kg,
• $5-3=2$ kg.

Es decir, cuatro pesos diferentes, si no se permite usar lo ya pesado como nueva pesa.

3.1 Repartir un total con una diferencia fija

Este es uno de los métodos más útiles para resolver problemas de examen.

Supongamos que se tiene un total $T$ y se quiere repartirlo en dos bolsas $A$ y $B$, no necesariamente iguales.

Si en la balanza se cumple:

$$A + u = B + v$$

donde $u$ y $v$ son pesas colocadas con $A$ y $B$, entonces:

$$A - B = v - u$$

Es decir, la diferencia de peso entre las bolsas es igual a la diferencia entre las pesas del platillo contrario.

Además, como:

$$A + B = T$$

se puede resolver el sistema:

$$A+B=T$$ $$A-B = v-u$$

Por lo tanto:

$$A = \frac{T + (v-u)}{2}$$

$$B = \frac{T - (v-u)}{2}$$

Ejemplo breve:

Se tienen $10$ kg de azúcar y pesas de $1$ kg y $3$ kg. Se quiere separar en bolsas de $6$ kg y $4$ kg.

La diferencia deseada es:

$$6 - 4 = 2$$

Entonces conviene colocar $1$ kg con la bolsa de $6$ kg y $3$ kg con la bolsa de $4$ kg:

$$6 + 1 = 4 + 3$$

$$7 = 7$$

Así, en una sola pesada se logra el reparto.

3.2 Mitades sucesivas

Cuando el peso pedido es una fracción consecutiva del total, muchas veces conviene dividir por mitades.

Por ejemplo:

• Si se tiene un saco de $48$ kg y se pide $12$ kg, notamos que: $$48 \to 24 \to 12$$ Por lo tanto, con dos divisiones sucesivas por la mitad se obtiene el pedido.

La lógica es:

• Primera pesada: separar $24$ kg y $24$ kg.
• Segunda pesada: tomar una mitad de $24$ kg y separarla en $12$ kg y $12$ kg.

Este método es muy rápido cuando el pedido es:

$$T,\quad \frac{T}{2},\quad \frac{T}{4},\quad \frac{T}{8},\ldots$$

3.3 Pedidos decimales o fraccionarios

Muchos problemas recientes incluyen pedidos como:

• $10{,}5$ kg
• $27{,}5$ kg
• $28{,}5$ kg

El decimal $0{,}5$ no significa que se deba tener una pesa de $\frac{1}{2}$ kg. Generalmente aparece al dividir un total impar entre dos.

Por ejemplo, si se tiene un total de $25$ kg y se divide en dos partes con una diferencia de $4$ kg:

$$\frac{25+4}{2} = 14{,}5$$

$$\frac{25-4}{2} = 10{,}5$$

Así, a partir de $25$ kg y una diferencia de $4$ kg se obtiene $10{,}5$ kg.

Método típico:

1. Dividir el total original en dos mitades.
2. Tomar una mitad.
3. Dividirla usando las pesas para generar la diferencia que produzca el decimal pedido.

4.1 La estrategia de los tres grupos

En problemas donde hay varios objetos del mismo tamaño y forma, pero uno tiene peso diferente, la balanza de dos platillos es una herramienta para descartar grupos.

La idea central es:

En cada pesada se pueden formar tres grupos: los dos que se comparan y el grupo que se deja fuera.

¿Por qué tres?

Porque una pesada tiene tres resultados posibles:

1. El platillo izquierdo pesa más.
2. El platillo derecho pesa más.
3. Ambos platillos pesan igual.

Si sabemos que el objeto buscado es más pesado:

• Si un platillo cae, el objeto está en ese platillo.
• Si equilibran, el objeto está en el grupo que no se pesó.

4.2 ¿Cuántas pesadas son necesarias?

Como cada pesada permite dividir entre 3 grupos, se puede usar la siguiente regla práctica:

Por lo tanto:

• Para $8$ o $9$ objetos, bastan 2 pesadas.
• Para $10$ a $27$ objetos, bastan 3 pesadas.
• Para $28$ a $81$ objetos, bastan 4 pesadas.

El método es dividir en tres grupos lo más iguales posible y repetir.

Ejemplo con 9 monedas, una más pesada:

• Primera pesada: comparar $3$ monedas contra $3$ monedas.
• Si pesan igual, la moneda falsa está entre las $3$ no pesadas.
• Si un grupo pesa más, la moneda falsa está en ese grupo.
• Segunda pesada: del grupo sospechoso de $3$ monedas, comparar $1$ contra $1$.
• Si pesan igual, la falsa es la que quedó fuera.
• Si una pesa más, esa es la falsa.

Error clásico: dividir en dos grupos de $4$ y $4$, porque al quedar $4$ sospechosos se necesitan más pesadas.

5.1 Verificar si una pesada es suficiente

Antes de pensar en dos o más pesadas, conviene preguntarse:

• ¿El peso pedido es igual a la suma de las pesas?
• ¿Es igual a la diferencia de las pesas?
• ¿Se puede obtener repartiendo el total con la diferencia de las pesas?

Si la respuesta es sí, entonces una pesada es suficiente.

Ejemplo:

Se tiene un total de $10$ kg y pesas de $1$ kg y $3$ kg. Si se pide repartir en $6$ kg y $4$ kg, ya vimos que una sola pesada basta porque:

$$6+1=4+3$$

5.2 Si una pesada no basta, pensar «hacia atrás»

Cuando el peso pedido no se puede obtener directamente, conviene descomponerlo.

Pregúntate:

• ¿Qué peso intermedio me conviene obtener en la primera pesada?
• ¿Puedo completar lo que falta en la segunda usando ese peso intermedio más las pesas originales?

Ejemplo mental:

Con pesas de $5$ kg y $7$ kg, si se pide $22$ kg:

• Una pesada con ambas pesas puede dar $5+7=12$ kg, o $7-5=2$ kg.
• Si obtengo $12$ kg, me faltan $10$ kg.
• En la segunda pesada, $10$ se puede lograr como: $$10 = (12+5)-7$$
• Por lo tanto, dos pesadas son suficientes.

Este razonamiento evita andar probando sin rumbo.

5.3 Aprovecha el complemento

Si se tiene un total conocido $T$, pesar una parte $x$ equivale a conocer también la otra parte $T-x$.

Por eso, si el pedido es muy grande, tal vez convenga pesar el complemento y entregar el resto.

Ejemplo simple:

Si un saco tiene $25$ kg y se desea entregar $16$ kg, en lugar de pesar $16$ kg directamente, se puede observar que basta separar $9$ kg y entregar los restantes $16$ kg.

A veces esa inversión simplifica mucho el problema.