Verdades y mentiras 2

En estos problemas hay dos niveles que conviene distinguir:

1. El nivel de la persona: ¿es sincera o mentirosa?
2. El nivel de lo que dice: ¿la proposición que afirma es verdadera o falsa?

La conexión entre ambos niveles es la siguiente:

• Si una persona siempre dice la verdad, entonces toda proposición que afirme debe ser verdadera.
• Si una persona siempre miente, entonces toda proposición que afirme debe ser falsa.

Esto parece obvio, pero es la base de todo el tema.

Ejemplo breve.
Si Ana es sincera y afirma: «Hoy llueve y hace frío», entonces la proposición «Hoy llueve y hace frío» es verdadera; por tanto, ambas partes son verdaderas: llueve y hace frío.

Si Beto es mentiroso y afirma la misma frase, entonces la proposición completa es falsa. Eso no significa que llueva y no haga frío, ni que no llueva y haga frío; significa que no es cierto que ocurran ambas cosas a la vez. Podría no llover, podría no hacer frío, o podrían fallar ambas. La negación de una conjunción es una disyunción de negaciones:

$$\neg(\text{llueve y hace frío}) \equiv (\text{no llueve}) \vee (\text{no hace frío})$$

Este tipo de cuidado es importante cuando las afirmaciones son compuestas.

El caso más común es aquel en el que cada persona es de un solo tipo:

• Sincero o veraz: todas sus afirmaciones son verdaderas.
• Mentiroso o falaz: todas sus afirmaciones son falsas.

Cuando un personaje hace una sola declaración, el razonamiento es directo:

$$\begin{array}{c|c|c} \text{Personaje} & \text{Afirmación} & \text{Valor de la proposición} \\ \hline \text{Sincero} & p & V \\ \text{Mentiroso} & p & F \end{array}$$

2.1 ¿Qué pasa cuando alguien se acusa a sí mismo?

Hay preguntas autorreferentes que no dan información útil. Por ejemplo, si preguntamos a una persona:

«¿Eres sincero?»

• Si es sincera, la respuesta verdadera es «sí», y como dice la verdad, responderá «sí».
• Si es mentirosa, la respuesta verdadera es «no», pero como miente, responderá «sí».

Entonces ambas personas responden «sí». Esta pregunta no sirve para distinguir.

En cambio, si un personaje afirma «Yo soy mentiroso», esta declaración no puede ser emitida por un sincero ni por un mentiroso sin contradicción:

• Si un sincero dice «yo soy mentiroso», afirma una proposición falsa, lo cual un sincero no puede hacer.
• Si un mentiroso dice «yo soy mentiroso», afirma una proposición verdadera, lo cual un mentiroso no puede hacer.

Por eso, en problemas bien planteados este tipo de frases no aparece, o se usa justamente para probar que una afirmación es absurda.

2.2 Afirmaciones ligadas, equivalentes y contradictorias

Una de las habilidades más rentables en este tema es descubrir relaciones entre declaraciones antes de lanzarse a suponer.

Relación 1: A dice «B dice la verdad»

Si A es sincero, entonces su afirmación es verdadera, por lo que B también es sincero.
Si A es mentiroso, su afirmación es falsa, por lo que B no dice la verdad, es decir, B es mentiroso.

En ambos casos, A y B son del mismo tipo.

Relación 2: A dice «B miente»

Si A es sincero, entonces B efectivamente miente.
Si A es mentiroso, su afirmación «B miente» es falsa, así que B no miente, es decir, B dice la verdad.

En ambos casos, A y B son de tipos opuestos.

Relación 3: A y B afirman exactamente lo mismo

Si dos personajes afirman la misma proposición, sus declaraciones tienen el mismo valor de verdad. No importa si son sinceros o mentirosos: una misma proposición no puede ser simultáneamente $V$ y $F$.

Relación 4: A y B afirman proposiciones contradictorias

Dos proposiciones son contradictorias cuando no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas. Por ejemplo:

• «Hay más de 2 mentirosos» y «hay a lo más 2 mentirosos».
• «X lo rompió» y «X no lo rompió».

Si dos personas afirman proposiciones contradictorias, una de ellas dice la verdad y la otra miente.

Estas relaciones permiten resolver muchos problemas sin necesidad de suponer caso por caso. Conviene tenerlas siempre presentes.

Cuando las relaciones anteriores no bastan, se usa el método de suposición.

Procedimiento recomendado:

1. Identificar a todos los personajes y sus declaraciones.
2. Traducir cada declaración a una proposición.
3. Buscar declaraciones idénticas, contradictorias o ligadas.
4. Elegir la declaración de la que se pueda deducir más información y suponer su valor de verdad.
5. Deducir todas las consecuencias lógicas.
6. Si se llega a una contradicción con los datos, la suposición inicial era falsa. Cambiarla.
7. Si todas las condiciones se cumplen, la suposición era correcta.

Ejemplo breve.
Dos personas A y B, cada una sincera o mentirosa.
A dice: «B es mentiroso».
B dice: «A dice la verdad».

Por la primera, A y B son de tipos opuestos.
Por la segunda, A y B son del mismo tipo.

Ambas relaciones no pueden ser verdaderas a la vez. Esto indica que hay una contradicción global: no existe configuración posible con esas dos declaraciones. En un problema real, esto se detecta suponiendo el tipo de A.

• Si A es sincero, entonces B es mentiroso. Pero B dice «A dice la verdad», que sería verdadera, y un mentiroso no puede decirla. Contradicción.
• Si A es mentiroso, entonces B debería ser sincero. Pero si B es sincero, su declaración «A dice la verdad» sería verdadera, lo cual contradice que A es mentiroso. Contradicción.

Por tanto, no hay solución. Este tipo de análisis muestra que el método de suposición no solo sirve para hallar respuestas, sino también para detectar que ciertos datos son inconsistentes.

Un grupo muy preguntado en este tema es aquel en el que cada personaje afirma cuántos mentirosos hay en total.

La idea clave es que si dos personajes dicen números distintos de mentirosos, sus afirmaciones no pueden ser ambas verdaderas, porque no puede haber exactamente dos cantidades diferentes de mentirosos a la vez.

Veamos un caso típico.

Supongamos que en una reunión hay $n$ personas, todas sinceras o mentirosas, y cada una afirma: «Hay exactamente $k$ mentirosos», con valores de $k$ todos distintos.

¿Cuántos mentirosos hay?

• Solo una de esas afirmaciones puede ser verdadera.
• Si hay $m$ mentirosos en total, exactamente una persona dice la verdad: la que afirmó «hay $m$ mentirosos».
• Por lo tanto, las otras $n-1$ personas mienten.
• Como el total de mentirosos es $m$, se tiene $m = n-1$.

Conclusión: la única declaración verdadera es la que dice «hay $n-1$ mentirosos».

Ejemplo breve.
Siete personas afirman respectivamente: «Hay 1 mentiroso», «Hay 2 mentirosos», ..., «Hay 7 mentirosos».
Entonces hay $7-1=6$ mentirosos, y la declaración verdadera es la que dice «Hay 6 mentirosos».

Cuando las afirmaciones no son simplemente números distintos, se deben combinar con las relaciones de la sección anterior.

Este es uno de los subtemas característicos de Verdades y mentiras 2: personajes cuyo comportamiento no es fijo, sino que depende del día de la semana.

5.1 Tablas semanales

La forma más clara de trabajar es construir una tabla semanal para cada personaje, marcando los días en que dice la verdad $V$ y los días en que miente $M$.

Ejemplo.
Un personaje miente lunes, miércoles y viernes; dice la verdad los demás días.

$$\begin{array}{c|ccccccc} \text{Día} & \text{Lun} & \text{Mar} & \text{Mié} & \text{Jue} & \text{Vie} & \text{Sáb} & \text{Dom} \\ \hline \text{Conducta} & M & V & M & V & M & V & V \end{array}$$

Una declaración solo puede ser emitida por este personaje si el valor de verdad de la declaración coincide con su conducta de ese día.

Por ejemplo, si este personaje dice «Hoy no es martes», veamos cuándo podría decirlo:

• Si hoy es martes, la proposición «Hoy no es martes» es falsa, pero el martes este personaje dice la verdad. No puede decirlo.
• Si hoy es lunes, la proposición es verdadera, pero el lunes miente. No puede.
• Si hoy es miércoles, la proposición es verdadera, pero el miércoles miente. No puede.
• Si hoy es jueves, la proposición es verdadera, y el jueves dice la verdad. Sí puede.

Así se va descartando día por día.

5.2 La declaración «ayer me tocó mentir»

Hay una declaración muy frecuente: «Ayer mentí» o «Ayer me tocó mentir».

Para saber en qué días un personaje puede pronunciarla, hay que analizar dos casos según su conducta de hoy:

Caso 1: Hoy dice la verdad

Si hoy dice la verdad, entonces su afirmación «ayer mentí» debe ser verdadera. Por tanto, ayer realmente le tocó mentir.

Es decir: hoy $V$, ayer $M$.

Caso 2: Hoy miente

Si hoy miente, entonces su afirmación «ayer mentí» debe ser falsa. Por tanto, ayer no le tocó mentir; es decir, ayer dijo la verdad.

Es decir: hoy $M$, ayer $V$.

En ambos casos, la conducta de hoy es diferente de la conducta de ayer. Por eso, la regla práctica es:

Un personaje puede decir «ayer mentí» exactamente en los días en que su conducta cambió respecto del día anterior.

Esta regla convierte el problema en buscar transiciones $V \to M$ o $M \to V$ en la tabla semanal.

Ejemplo breve.
Si un personaje tiene la tabla

$$\begin{array}{c|ccccccc} \text{Día} & \text{Lun} & \text{Mar} & \text{Mié} & \text{Jue} & \text{Vie} & \text{Sáb} & \text{Dom} \\ \hline \text{Conducta} & M & M & V & V & M & V & V \end{array}$$

Buscamos transiciones:

• Lunes: ayer domingo $V$, hoy $M$: transición $V \to M$. Puede decir «ayer mentí».
• Martes: ayer lunes $M$, hoy $M$: sin cambio. No puede.
• Miércoles: ayer martes $M$, hoy $V$: transición $M \to V$. Puede.
• Jueves: ayer miércoles $V$, hoy $V$: sin cambio. No puede.
• Viernes: ayer jueves $V$, hoy $M$: transición $V \to M$. Puede.
• Sábado: ayer viernes $M$, hoy $V$: transición $M \to V$. Puede.
• Domingo: ayer sábado $V$, hoy $V$: sin cambio. No puede.

Entonces este personaje puede decir «ayer mentí» los días lunes, miércoles, viernes y sábado.

En problemas con dos personajes que afirman «ayer mentí» en dos días consecutivos, lo que se hace es hallar los días de transición de cada uno y buscar pares consecutivos que pertenezcan a ambos.

5.3 Extensión a otras frases temporales

La misma idea se aplica a declaraciones como:

• «Mañana mentiré»: la conducta de hoy debe ser distinta de la de mañana.
• «Anteayer mentí»: se compara la conducta de hoy con la de hace dos días.
• «Ayer y hoy mentí»: no es una simple transición; hay que analizar los valores de ambos días y el estado actual.

En todos los casos, conviene plantear:

$$\text{valor de verdad de la frase} = \text{conducta del personaje hoy}$$

y despejar los días posibles.

Un tercer tipo de personaje es el alternador: alguien que no es siempre sincero ni siempre mentiroso, sino que alterna entre respuestas verdaderas y falsas.

Puede aparecer de dos maneras:

1. Alterna entre afirmaciones: si hace dos declaraciones, exactamente una es verdadera y la otra falsa.
2. Alterna entre respuestas consecutivas: en una serie de preguntas, sus respuestas siguen el patrón $V, F, V, F, \dots$ o $F, V, F, V, \dots$.

Cuando no se sabe por cuál patrón empieza, se deben considerar dos subtipos:

• Alternador que empieza con verdad: $V, F, V, \dots$
• Alternador que empieza con mentira: $F, V, F, \dots$

Esto es crucial en problemas donde se pregunta algo a todos los integrantes de un grupo y se cuenta cuántos respondieron «sí» o «no».

6.1 Método de tabla de respuestas

Para resolver este tipo de problemas se construye una tabla con los tipos de personajes en filas, las preguntas en columnas y las respuestas «sí» o «no» en las celdas.

La tabla se arma a partir de la verdad de cada pregunta para cada personaje y de la regla de conducta.

Ejemplo rápido con dos preguntas.
Supongamos que hay tres tipos de personas:

• Sinceras: siempre dicen la verdad.
• Mentirosas: siempre mienten.
• Alternadoras: alternan, empezando con verdad.

Les preguntamos:

1. ¿Eres sincera?
2. ¿Eres mentirosa?

Analicemos:

• Sincera: la verdad es «sí» en la pregunta 1 y «no» en la 2. Responde: Sí, No.
• Mentirosa: la verdad es «no» en la pregunta 1 y «sí» en la 2. Como miente, responde: Sí, No.
• Alternadora que empieza con verdad:
  Pregunta 1: la verdad es «no» (no es sincera), pero empieza con verdad, dice «no».
  Pregunta 2: la verdad es «no» (no es mentirosa), pero le toca mentir, dice «sí».
  Responde: No, Sí.

Con esta tabla, si se sabe cuántas personas respondieron «sí» a cada pregunta, se puede plantear un sistema de ecuaciones y hallar cuántas hay de cada tipo.

En problemas más difíciles se agregan más preguntas y ambos subtipos de alternadores. La clave es separar los subtipos y usar los conteos totales.

Para casi cualquier problema de Verdades y mentiras 2, puede seguirse este orden:

1. Lee las reglas del juego: ¿quiénes mienten siempre? ¿quiénes mienten por días? ¿quiénes alternan?
2. Escribe las declaraciones o respuestas con proposiciones claras.
3. Busca relaciones: declaraciones idénticas, contradictorias, o que ligan a dos personajes.
4. Si sirve, arma una tabla de días, tipos o respuestas.
5. Supón el valor de verdad de la afirmación más conectada y propaga las consecuencias.
6. Si hay contradicción, invierte la suposición.
7. Verifica todos los datos, especialmente el número exacto de mentirosos o de sinceros.