Rotación y traslación de figuras 1

Una rotación o giro es un movimiento en el que todos los puntos de una figura giran un mismo ángulo alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación.

Los elementos que definen una rotación son:

• Centro de rotación: el punto que permanece fijo durante el giro.
• Ángulo de giro: la medida del ángulo que se rota la figura.
• Sentido de giro: puede ser horario (el mismo sentido de las agujas del reloj) o antihorario (sentido contrario).

La rotación es un movimiento rígido: la figura no cambia de forma ni de tamaño. Solo cambia su posición. Si tomamos un punto $P$ de la figura y lo giramos alrededor del centro $O$, su imagen $P'$ queda en un arco de circunferencia con centro en $O$ y radio $OP$. Es decir:

• La distancia de cualquier punto al centro de rotación se conserva.
• Cada punto describe un arco de circunferencia.
• El ángulo de giro es el ángulo entre $OP$ y $OP'$.

Ejemplo. Si un punto $A$ está a 6 cm del centro de rotación $O$, y se gira $90^\circ$, entonces el arco que describe $A$ mide
$$L = \frac{\pi}{2} \times 6 = 3\pi \text{ cm}.$$

Una traslación es un movimiento en el que todos los puntos de una figura se desplazan en la misma dirección y la misma distancia.

La traslación no cambia la forma ni el tamaño de la figura, y tampoco cambia su orientación. Si una figura se traslada desde una posición inicial hasta una posición final, los segmentos que unen cada punto con su imagen son paralelos entre sí y de igual longitud.

La traslación suele combinarse con la rotación para describir movimientos más complejos. Por ejemplo, una figura puede girar alrededor de un punto y luego desplazarse. En muchos problemas de examen, sin embargo, nos interesa más el efecto cuantitativo de estos movimientos: qué longitud recorre un punto, cuántas vueltas da una rueda o qué perímetro tiene la región barrida.

Un primer tipo de pregunta consiste en determinar la posición final de una figura después de girar un ángulo grande. La idea central es que una vuelta completa, es decir, $360^\circ$, devuelve la figura a su posición original.

Por lo tanto, para saber qué posición final tendrá una figura luego de un giro de $\alpha$ grados, se puede dividir $\alpha$ entre $360$ y trabajar únicamente con el residuo. Equivalentemente:

$$\alpha = 360k + \beta,$$

donde $k$ es el número de vueltas completas y $\beta$ es el ángulo efectivo, con $0 \le \beta < 360$. La figura quedará como si solo hubiera girado $\beta$ grados.

Ejemplo. Si una figura gira $1200^\circ$ en sentido horario, como
$$1200 = 3 \times 360 + 120,$$ el giro equivale a uno de $120^\circ$ en sentido horario. Las tres vueltas completas no cambian la posición.

También puede ocurrir que la figura gire en un sentido y luego en el otro. En ese caso, se puede sumar algebraicamente los ángulos usando, por ejemplo, positivos para el sentido horario y negativos para el antihorario. El resultado se reduce módulo $360^\circ$.

Ejemplo. Si una figura gira $270^\circ$ en sentido horario y luego $180^\circ$ en sentido antihorario, el giro neto es: $$270^\circ - 180^\circ = 90^\circ$$ en sentido horario.

Para visualizar la posición final, es útil marcar un punto o una arista de la figura y girar solo ese punto. Como la forma se conserva, la posición de toda la figura queda determinada por la posición de sus puntos notables.

Uno de los problemas más frecuentes en el examen es el de una rueda o disco circular que rueda sin deslizarse por una trayectoria.

4.1. Relación entre vueltas y distancia recorrida

Cuando una rueda de radio $r$ rueda sin resbalar sobre una superficie recta, en cada vuelta completa su centro avanza una distancia igual a la longitud de la circunferencia de la rueda:

$$\text{avance por vuelta} = 2\pi r.$$

Por lo tanto, si la rueda da $N$ vueltas y el centro recorre una distancia $L$, se cumple:

$$L = N \cdot 2\pi r,$$

o equivalentemente:

$$N = \frac{L}{2\pi r}.$$

Esta fórmula es fundamental. En muchos problemas se conoce la distancia recorrida y se pide hallar el número de vueltas, o se conoce el número de vueltas y se pide encontrar el radio o la distancia.

Ejemplo. Una rueda de radio 3 cm da 10 vueltas sobre un piso recto. La distancia que avanza su centro es: $$L = 10 \cdot 2\pi(3) = 60\pi \text{ cm}.$$

4.2. Trayectoria del centro de la rueda

Cuando la pista no es recta, el centro de la rueda no recorre exactamente la misma longitud que el punto de contacto. El centro se desplaza por una curva paralela a la superficie de la pista, siempre a una distancia igual al radio de la rueda.

Para calcular la longitud recorrida por el centro, conviene descomponer la pista en tramos:

• Tramo recto: el centro recorre un segmento paralelo al tramo recto, de igual longitud.
• Tramo curvo convexo: si la rueda rueda por la parte exterior de un arco de circunferencia de radio $R$, el centro describe un arco de radio $R + r$ y con el mismo ángulo central. Su longitud es $\theta (R + r)$.
• Tramo curvo cóncavo: si la rueda rueda por la parte interior de un arco de radio $R$ (con $R > r$), el centro describe un arco de radio $R - r$. Su longitud es $\theta (R - r)$.
• Esquina o cambio brusco de dirección: si la pista pasa de un segmento recto a otro formando un ángulo $\theta$, el centro describe un arco de radio $r$ alrededor del vértice de la esquina. La longitud de ese arco es $\theta \cdot r$.

Ejemplo simple. Un disco de radio 2 cm rueda por un tramo recto de 10 cm, luego gira $90^\circ$ en una esquina convexa y sigue por un tramo recto de 5 cm. La longitud recorrida por el centro es:

• Tramo recto inicial: $10$ cm.
• Esquina: arco de radio $2$ cm y ángulo $90^\circ = \frac{\pi}{2}$, longitud $2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$ cm.
• Tramo recto final: $5$ cm.

Total: $10 + \pi + 5 = (15 + \pi)$ cm.

4.3. Caso de pistas con varios tramos

Cuando la trayectoria está formada por varios segmentos rectos y arcos, se aplica el mismo principio: se dibuja la trayectoria del centro como una curva paralela a la pista y se suman las longitudes de todos sus tramos. En las esquinas, se agregan arcos de radio $r$; en los arcos convexos, se usa $R + r$; en los arcos cóncavos, $R - r$.

Cuando una figura gira alrededor de un punto fijo $O$, cada punto $P$ de la figura describe un arco de circunferencia cuyo radio es la distancia $OP$. La longitud del arco depende de ese radio y del ángulo de giro.

Si el ángulo de giro es $\theta$ radianes y $OP = d$, entonces la longitud recorrida por $P$ es:

$$L = \theta \cdot d.$$

Este resultado es la base para resolver preguntas como: “gira una lámina rectangular alrededor de un vértice, ¿cuánto recorre el extremo opuesto?” o “gira una figura y un punto alejado del centro traza tal arco”.

Ejemplo. Una lámina rectangular tiene lados 8 cm y 6 cm. Se gira $90^\circ$ alrededor del vértice $A$. El vértice opuesto $C$ está a una distancia
$$AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \text{ cm}.$$ Entonces, el arco que recorre $C$ mide: $$L = \frac{\pi}{2} \times 10 = 5\pi \text{ cm}.$$

En problemas donde la figura da varios giros sucesivos apoyándose en distintos vértices, el camino total de un punto se obtiene sumando los arcos de cada tramo. En cada tramo, el centro de rotación es el vértice de apoyo en ese momento.

Un tipo de pregunta más elaborado pide hallar el perímetro de la región barrida por una figura al girar alrededor de un punto.

La idea central es la siguiente: cuando una figura gira, la región que “barre” es la unión de todas sus posiciones intermedias. El contorno de esta región está formado por:

• algunos lados de la figura en su posición inicial;
• algunos lados de la figura en su posición final;
• arcos descritos por ciertos vértices de la figura.

No se suman todos los lados ni todos los arcos; solo los que efectivamente forman el borde exterior de la región barrida.

Método práctico

Para hallar el perímetro de la región que genera una figura al girar:

1. Identifica el centro de rotación y el ángulo de giro.
2. Dibuja la figura en su posición inicial y en su posición final.
3. Determina qué puntos o lados de la figura generan el borde de la región:
   • Los lados que no se superponen y que quedan en el exterior del barrido forman los tramos rectos del contorno.
   • Los vértices que se encuentran a mayor distancia del centro de rotación, y que no quedan ocultos por otros puntos, generan los arcos del contorno.
4. Calcula cada arco como $\theta \cdot d$, donde $d$ es la distancia del vértice al centro de rotación.
5. Suma las longitudes de todos los tramos rectos y arcos.

Caso típico: un lado de una figura que gira alrededor de un vértice.

Por ejemplo, si un rectángulo $ABCD$ gira alrededor del vértice $C$ un ángulo de $90^\circ$, y nos piden el perímetro de la región generada por el lado $AB$, el contorno es:

• el segmento inicial $AB$;
• el segmento final $A'B'$;
• el arco que recorre el extremo $A$, de radio $CA$;
• el arco que recorre el extremo $B$, de radio $CB$.

$$\text{perímetro} = AB + A'B' + \theta \cdot CA + \theta \cdot CB.$$

Como $AB = A'B'$, la contribución de los segmentos rectos es $2AB$, y la contribución de los arcos es $\theta(CA + CB)$.

Este razonamiento se extiende a figuras más complejas. Lo importante es identificar qué partes del contorno inicial y final son visibles desde el exterior del barrido y qué vértices son los que trazan arcos.