Situaciones aritméticas y numeración

Un número del 0 al 999 puede verse como tres casillas:

$$\boxed{c_2}\ \boxed{c_1}\ \boxed{c_0}$$

donde:

• $c_2$ es la cifra de las centenas,
• $c_1$ es la cifra de las decenas,
• $c_0$ es la cifra de las unidades.

Cuando completamos con ceros a la izquierda, un número como $45$ se representa como:

$$\boxed{0}\ \boxed{4}\ \boxed{5}$$

Así, todos los números del 0 al 999 tienen exactamente tres casillas.

La ventaja es que cada casilla se puede analizar por separado. Si una restricción prohíbe ciertos dígitos, simplemente reducimos las opciones de cada casilla.

Ejemplo previo: del 1 al 999 sin el dígito 4

Contemos cuántos números del 1 al 999 no contienen el dígito 4.

Forma 1: por cantidad de cifras

• Números de 1 cifra: pueden usar $1,2,3,5,6,7,8,9$.
  Son $8$ números.

• Números de 2 cifras:
  primera cifra no puede ser 0 ni 4: $8$ opciones;
  segunda cifra no puede ser 4: $9$ opciones.
  Total: $8\cdot 9=72$.

• Números de 3 cifras:
  primera cifra no puede ser 0 ni 4: $8$ opciones;
  segunda cifra no puede ser 4: $9$ opciones;
  tercera cifra no puede ser 4: $9$ opciones.
  Total: $8\cdot 9\cdot 9=648$.

Sumando:

$$8+72+648=728$$

Hay $728$ números del 1 al 999 que no contienen el dígito 4.

Forma 2: completando con ceros a la izquierda

Tomamos los números del 0 al 999 como tres casillas.

Cada casilla no puede ser 4, entonces cada casilla tiene $9$ opciones:

$$9\cdot 9\cdot 9=9^3=729$$

Este resultado incluye el número $000$, que corresponde a 0 y no está en el rango del 1 al 999. Entonces restamos 1:

$$729-1=728$$

El resultado coincide.

Problema tipo: del 1 al 1000 sin dígitos 2 ni 5

Cuando se prohíben dos dígitos, la lógica es la misma.

Si prohíbes los dígitos 2 y 5, las cifras permitidas son:

$$0,1,3,4,6,7,8,9$$

Es decir, hay $8$ cifras permitidas.

Para los números del 0 al 999, usamos tres casillas:

$$8\cdot 8\cdot 8=8^3=512$$

Ahora hay que ajustar los extremos:

• El $000$ representa al número 0, que no está entre 1 y 1000. Lo restamos.
• El número $1000$ sí está en el rango y no contiene ni 2 ni 5. Lo sumamos.

Por lo tanto:

$$512-1+1=512$$

Así, del 1 al 1000, hay $512$ números que no contienen ni 2 ni 5.

Comparación útil de extremos

Con el mismo cálculo $8^3=512$:

Esto muestra por qué el 0 y el 1000 se compensan en este problema.

Muchas veces es más fácil contar los que no cumplen la condición y restarlos del total.

Ejemplo: del 1 al 1000, ¿cuántos contienen el dígito 6?

El total de números es:

$$1000$$

Primero contamos cuántos no contienen 6.

Del 0 al 999, cada casilla no puede ser 6, por lo que cada una tiene $9$ opciones:

$$9^3=729$$

Ajustamos:

• $000$ representa al 0 y no está en el rango 1 al 1000: restamos 1.
• $1000$ no contiene 6: sumamos 1.

Entonces, del 1 al 1000, los que no contienen 6 son:

$$729-1+1=729$$

Por lo tanto, los que sí contienen al menos un 6 son:

$$1000-729=271$$

En general, para un dígito $d$ distinto de 0 y 1, del 1 al 1000 se cumple:

$$\text{Contienen }d = 10^3-9^3$$

$$\text{Contienen }d = 1000-729=271$$

El truco de completar con ceros a la izquierda no se debe usar mecánicamente si la restricción prohíbe o involucra al dígito 0.

Ejemplo: del 1 al 999, ¿cuántos no contienen el dígito 0?

Si usamos mal el truco de completar con ceros, podríamos pensar que en cada casilla hay 9 opciones (del 1 al 9), entonces $9^3=729$. Pero eso sería incorrecto, porque los números de una y dos cifras al completarse con ceros parecerían contener ceros que no forman parte del número real.

Por ejemplo:

$$5 \rightarrow 005$$

Al completarlo, aparecen dos ceros artificiales. Por eso, cuando el cero es parte de la restricción, contamos mejor por cantidad de cifras reales.

Conteo correcto

• Números de 1 cifra: $1,2,3,4,5,6,7,8,9$
  Son $9$.

• Números de 2 cifras:
  primera cifra: 9 opciones,
  segunda cifra: 9 opciones.
  Total: $9\cdot 9=81$.

• Números de 3 cifras:
  cada cifra tiene 9 opciones.
  Total: $9\cdot 9\cdot 9=729$.

Sumando:

$$9+81+729=819$$

Por lo tanto, del 1 al 999 hay $819$ números que no contienen el dígito 0.

Este es un error clásico: el método de ceros a la izquierda se usa con seguridad cuando los dígitos prohibidos son distintos de cero.

La idea del principio

Si $A$ y $B$ son dos conjuntos, la cantidad de elementos que están en $A$ o en $B$ es:

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

La resta de $n(A\cap B)$ corrige los elementos que se contaron dos veces.

Para tres conjuntos:

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$$

En el conteo de números, cada conjunto suele representar una condición:

• $A$: números que contienen el dígito 2.
• $B$: números que contienen el dígito 5.
• $C$: números que contienen el dígito 7.

Aplicación al problema de las placas

En el problema del 1 al 1000, definamos:

• $A$: placas que contienen el dígito 2.
• $B$: placas que contienen el dígito 5.

Ya sabemos que las placas que no contienen ni 2 ni 5 son $512$.

Entonces, las placas que sí contienen 2 o 5 son:

$$1000-512=488$$

Es decir:

$$n(A\cup B)=488$$

Por otro lado, calculemos cuántas contienen el dígito 2:

• Sin 2 del 0 al 999: $9^3=729$.
• Ajuste para el 1 al 1000: $729-1+1=729$.
• Total con 2: $1000-729=271$.

Entonces:

$$n(A)=271$$

De manera análoga:

$$n(B)=271$$

Apliquemos inclusión-exclusión:

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

Reemplazamos:

$$488=271+271-n(A\cap B)$$

$$488=542-n(A\cap B)$$

$$n(A\cap B)=54$$

Por lo tanto, hay $54$ números del 1 al 1000 que contienen simultáneamente los dígitos 2 y 5.

Verificación directa de la intersección

Podemos obtener los $54$ números que contienen 2 y 5 por casos.

Para números del 0 al 999, trabajamos con tres casillas.

Caso 1: un 2, un 5 y una tercera cifra distinta de 2 y 5

La tercera cifra puede ser:

$$0,1,3,4,6,7,8,9$$

Hay 8 opciones.

Las tres cifras $2,5,x$ se pueden ordenar de $3!$ maneras:

$$3!=6$$

Total del caso:

$$8\cdot 6=48$$

Caso 2: dos veces 2 y una vez 5

Las cifras son $2,2,5$.

Se ordenan de:

$$\frac{3!}{2!}=3$$

maneras: $225,252,522$.

Caso 3: una vez 2 y dos veces 5

Las cifras son $2,5,5$.

Se ordenan de:

$$\frac{3!}{2!}=3$$

maneras: $255,525,552$.

Sumando:

$$48+3+3=54$$

Esto confirma el resultado.

Supongamos que queremos saber cuántos números del 1 al 1000 contienen al menos uno de los dígitos 2, 5 o 7.

Definamos:

• $A$: contiene 2.
• $B$: contiene 5.
• $C$: contiene 7.

Ya tenemos:

$$n(A)=n(B)=n(C)=271$$

Para cualquier pareja, como $A$ y $B$, la intersección es $54$, porque se cuentan los que contienen ambos dígitos en tres casillas.

Por tanto:

$$n(A\cap B)=n(A\cap C)=n(B\cap C)=54$$

Para la triple intersección $A\cap B\cap C$, necesitamos que en tres casillas estén 2, 5 y 7 al menos una vez cada uno. Como solo hay tres casillas, debe haber exactamente un 2, un 5 y un 7. Se ordenan de:

$$3!=6$$

maneras.

Por lo tanto:

$$n(A\cap B\cap C)=6$$

Aplicamos la fórmula de inclusión-exclusión:

$$n(A\cup B\cup C)=271+271+271-54-54-54+6$$

$$n(A\cup B\cup C)=813-162+6=657$$

Así, hay $657$ números del 1 al 1000 que contienen al menos un 2, un 5 o un 7.

Podemos verificarlo por complemento: los que no contienen 2, ni 5, ni 7 usan 7 dígitos permitidos:

$$7^3=343$$

Entonces los que sí contienen al menos uno de ellos:

$$1000-343=657$$

La coincidencia nos muestra que la inclusión-exclusión y el complemento son consistentes.

Cuando enfrentes un ejercicio de conteo de números con restricciones de dígitos, puedes seguir estos pasos.

Paso 1: identifica el rango y el total

Pregunta: ¿de cuántos números estamos hablando?

Por ejemplo, del 1 al 1000 hay $1000$ números.

Paso 2: traduce la condición a conjuntos

• “No contiene 2 ni 5” → intersección de los que no contienen 2 y no contienen 5.
• “Contiene 2 o 5” → unión de los que contienen 2 con los que contienen 5.
• “Contiene 2 y 5” → intersección de los que contienen 2 y los que contienen 5.

Paso 3: decide si conviene el complemento

Si te piden “contiene al menos un dígito prohibido”, suele ser más fácil contar los que no lo contienen y restar del total.

Paso 4: usa casillas si los dígitos prohibidos son distintos de cero

Completa con ceros a la izquierda si el rango lo permite.

Paso 5: ajusta los extremos

Pregúntate:

• ¿El 0 está incluido?
• ¿El número final del rango cumple la condición?

Paso 6: si hay varias condiciones, usa inclusión-exclusión

Para dos o tres condiciones sobre dígitos, recuerda restar las intersecciones para no contar doble.

Hasta ahora trabajamos con rangos como 1 al 999 o 1 al 1000. Pero el método también funciona en rangos como 1 al 500.

Ejemplo breve: del 1 al 500, sin el dígito 3

Queremos contar cuántos números del 1 al 500 no contienen el dígito 3.

Tomamos del 0 al 499 con tres casillas.

La casilla de las centenas puede ser:

$$0,1,2,4$$

porque el número no debe pasar de 499 y no puede tener 3. Son 4 opciones.

Las casillas de decenas y unidades no pueden ser 3, así que cada una tiene 9 opciones.

Total del 0 al 499:

$$4\cdot 9\cdot 9=324$$

Esto incluye $000$, que es 0. Como el rango es del 1 al 500, restamos 0:

$$324-1=323$$

Luego sumamos el 500, que no contiene 3:

$$323+1=324$$

Por lo tanto, del 1 al 500 hay $324$ números que no contienen el dígito 3.