Ordenamiento de información 2 (circular)

En los problemas de mesa circular, normalmente se dice que las sillas están distribuidas simétricamente alrededor de una mesa circular. Eso significa que los asientos están igualmente espaciados. Si hay $n$ asientos, el ángulo entre dos asientos consecutivos es

$$\frac{360^\circ}{n}$$

Por ejemplo, si hay 6 asientos, entre un asiento y el siguiente hay $60^\circ$; si hay 8 asientos, hay $45^\circ$.

Como la mesa es circular, no hay primer ni último asiento. Para trabajar cómodamente, nosotros podemos poner números a los asientos, por ejemplo del 1 al 6, avanzando en sentido horario. Esos números no siempre vienen en el problema; a veces los colocamos nosotros para poder razonar. Otras veces el examen ya te da las sillas numeradas.

1.1. ¿Qué significa “frente a”?

Si el número de asientos $n$ es par, cada asiento tiene un asiento opuesto. Para encontrarlo, se avanza la mitad de los asientos:

$$\frac{n}{2}$$

Así, en una mesa de 6 asientos, el opuesto se encuentra avanzando 3 asientos; por eso 1 está frente a 4, 2 frente a 5 y 3 frente a 6.

En una mesa de 8 asientos, el opuesto se encuentra avanzando 4 asientos; por eso 1 está frente a 5, 2 frente a 6, 3 frente a 7 y 4 frente a 8.

Si los asientos están numerados del 1 al $n$ en forma consecutiva, el opuesto de un número $k$ se puede escribir como

$$k + \frac{n}{2}$$

y si este resultado es mayor que $n$, se le resta $n$. Por ejemplo, en 8 asientos, el opuesto de 6 es

$$6 + 4 = 10 \quad\Rightarrow\quad 10 - 8 = 2$$

por lo tanto, la silla 6 está frente a la silla 2.

1.2. Vecinos y distancias

Dos personas están juntas si ocupan asientos vecinos, es decir, asientos consecutivos en el círculo. Una persona sentada en una mesa circular tiene exactamente dos vecinos: uno a su izquierda y otro a su derecha.

Cuando el problema dice “junto y a la izquierda de $X$”, se refiere a un único asiento: el que está inmediatamente a la izquierda de $X$.

Cuando dice “a dos lugares de $X$”, hay que contar dos asientos a partir de $X$. Por ejemplo, en 6 asientos, “dos lugares a la derecha de 1” no es el asiento 6, sino el asiento 5, porque se avanza dos posiciones hacia la derecha.

En general, si estás en un asiento $k$ y avanzas $m$ lugares en sentido horario, llegas al asiento

$$k + m$$

si $k+m \le n$, y si te pasas de $n$, restas $n$. Esta forma de contar se llama aritmética modular y es muy útil cuando las sillas están numeradas.

Este es el punto que más confusiones produce. Cuando ves un dibujo de una mesa circular, tu derecha como lector no siempre coincide con la derecha de la persona sentada.

La regla general, usada en los problemas de admisión, es que todas las personas están sentadas mirando hacia el centro de la mesa. Bajo esa regla:

• La izquierda de una persona apunta en sentido horario.
• La derecha de una persona apunta en sentido antihorario.

Puedes comprobarlo imaginando a una persona sentada en la parte de arriba de la mesa, mirando al centro. Su mano izquierda apunta hacia un lado del dibujo y su mano derecha apunta hacia el otro; si sigues esa dirección alrededor de la mesa, verás que la izquierda coincide con el sentido horario y la derecha con el antihorario.

Entonces, si los asientos están numerados en sentido horario:

• “a la izquierda de $X$” equivale a avanzar al número siguiente;
• “a la derecha de $X$” equivale a retroceder al número anterior.

Si los asientos están numerados en sentido antihorario, la relación se invierte:

• “a la derecha de $X$” equivale a avanzar en el sentido de la numeración;
• “a la izquierda de $X$” equivale a retroceder.

La estrategia para resolver estos problemas puede resumirse así.

Paso 1: Representa la mesa

Dibuja una circunferencia y coloca $n$ asientos igualmente espaciados. Si el problema ya trae sillas numeradas, escribe los números. Si no los trae, conviene que tú los coloques, por ejemplo del 1 al $n$ en sentido horario.

Paso 2: Ubica el dato más fuerte

El mejor dato para empezar es aquel que no tiene ambigüedad:

• “$X$ se sienta en la silla número 5”;
• “$X$ está frente a $Y$”;
• “$X$ está junto y a la derecha de $Y$”.

Si ningún dato dice una silla fija, puedes escoger una posición para una persona mencionada, porque en una mesa circular, girar todos los asientos no cambia las relaciones. Es decir, puedes colocar a $A$ en la silla 1 sin perder generalidad.

Paso 3: Traduce las condiciones

• “$A$ está junto a $B$”: $B$ puede ocupar uno de los dos vecinos de $A$.
• “$A$ no está junto a $B$”: $B$ no puede ocupar ninguno de los dos vecinos de $A$.
• “$A$ está frente a $B$”: $B$ está en el asiento opuesto a $A$.
• “$A$ está a dos lugares de $B$”: $A$ y $B$ están separados por un asiento exactamente.

Paso 4: Marca prohibiciones y completa

Después de colocar los datos seguros, escribe las posiciones que van quedando disponibles. Usa las condiciones negativas, es decir, las que dicen “no está junto a…”, para tachar posiciones. Con frecuencia, al tachar dos o tres opciones, el ordenamiento queda determinado.

Paso 5: Revisa si hay una o varias soluciones

Algunos problemas admiten más de una distribución. Si la pregunta pide un dato necesariamente verdadero, ese dato debe cumplirse en todas las distribuciones posibles. Si pide un caso particular, normalmente las condiciones son suficientes para obtener una única ubicación.

En varios exámenes de San Marcos, las sillas vienen numeradas. Esto ayuda porque elimina la ambigüedad de girar la mesa: ya hay una referencia fija.

Cuando trabajes con sillas numeradas, te conviene tener en cuenta lo siguiente.

4.1. Asiento opuesto

Si hay $n$ sillas numeradas consecutivamente en sentido horario, el asiento opuesto a $k$ es

$$k + \frac{n}{2}$$

si $k \le \frac{n}{2}$, y

$$k - \frac{n}{2}$$

si $k > \frac{n}{2}$.

Por ejemplo, en 8 sillas:

• opuesto de 1: $1+4=5$;
• opuesto de 3: $3+4=7$;
• opuesto de 6: $6+4=10$, pero como se pasa de 8, es $10-8=2$.

4.2. Moverse en sentido horario o antihorario

Si las sillas están numeradas en sentido horario:

• avanzar $m$ lugares en sentido horario desde $k$ es $k+m$ (ajustando si se pasa de $n$);
• avanzar $m$ lugares en sentido antihorario es $k-m$ (ajustando si baja de 1).

Si las sillas están numeradas en sentido antihorario, los avances se invierten.

Algunos problemas no solo preguntan por la ubicación de una persona, sino que combinan dos datos a la vez sobre cada persona: nombre y apellido, nombre y bebida, nombre y profesión, etc.

Por ejemplo, se puede decir:

• “Pamela Díaz se sienta entre Ana y Dora Quispe”;
• “Manrique se sienta entre Pamela y María”;
• “Dora está frente a López”.

Aquí hay dos niveles de información que se cruzan. La técnica más práctica es usar dos anillos concéntricos: uno exterior para los nombres y otro interior para los apellidos. También puedes hacer una tabla con una columna para el número de asiento, otra para el nombre y otra para el apellido.

El procedimiento es el mismo, pero con una precaución adicional: cuando una condición dice “Pamela Díaz”, no coloques a Pamela y a Díaz en lugares distintos; son la misma persona. Ese es el error más común en este tipo de problemas.

Otro grupo importante de preguntas incluye condiciones como:

• “ningún varón está sentado junto a otro varón”;
• “las parejas de esposos se sientan juntas”;
• “ningún esposo está junto a su esposa”.

6.1. Alternancia de hombres y mujeres

Si en una mesa circular hay igual número de hombres y mujeres y se dice que ningún hombre está junto a otro hombre, entonces los asientos quedan alternados: hombre, mujer, hombre, mujer, etcétera.

Lo mismo ocurre si se dice que ninguna mujer está junto a otra mujer.

Esto da una ventaja: una vez que se coloca a un hombre, ya se sabe que sus dos vecinos deben ser mujeres.

6.2. Parejas de esposos

En problemas de parejas, es fundamental identificar a cada esposo con su esposa y aplicar las restricciones de cercanía. Si se dice que “ningún esposo está junto a su esposa”, entonces una persona no puede sentarse al lado de su pareja. Si ya se sabe que dos personas están juntas, se descarta que sean pareja.

Por ejemplo, si una mujer está sentada entre dos hombres y se dice que ningún esposo está junto a su esposa, entonces esa mujer no puede ser esposa de ninguno de esos dos hombres.

No todos los problemas de orden circular usan sillas igualmente espaciadas. En algunos materiales preuniversitarios aparecen mesas circulares en las que las personas no están repartidas de manera simétrica, y las posiciones se indican mediante ángulos.

Una circunferencia completa mide $360^\circ$. Estar frente a alguien significa estar a $180^\circ$, aunque no coincida con un asiento visual.

Algunas expresiones típicas son:

• “$A$ está a $120^\circ$ en sentido antihorario de $B$”;
• “$C$ está a $80^\circ$ en sentido horario de $A$”;
• “$D$ está diametralmente opuesto a $C$”.

Para resolver, se dibuja un punto de referencia, se mide el ángulo indicado en el sentido pedido y se coloca a la persona. La menor separación entre dos personas puede calcularse como la menor de estas dos cantidades:

$$|\alpha - \beta|$$

y

$$360^\circ - |\alpha - \beta|$$

donde $\alpha$ y $\beta$ son las posiciones angulares de las dos personas medidas desde un mismo origen.

Este tipo de problema no es el más frecuente en el examen real, pero aparece en material de práctica de San Marcos y refuerza la idea de que “circular” no siempre significa “sillas simétricas”.

Otro tipo de pregunta que se ha relacionado con el orden circular es el de pistas circulares: hay puntos igualmente espaciados alrededor de una pista y dos corredores parten de un mismo punto, en el mismo sentido o en sentidos opuestos.

La lógica es parecida a la de una mesa circular, porque las posiciones se repiten cada vuelta. Si dos corredores parten del mismo punto y corren en el mismo sentido, se encuentran cuando el más rápido le saca una vuelta completa de ventaja al más lento.

Si la pista tiene longitud $L$, el más lento va con rapidez $v_1$ y el más rápido con rapidez $v_2$, entonces el tiempo entre dos encuentros consecutivos es

$$T = \frac{L}{v_2 - v_1}$$

porque la rapidez relativa entre ambos es $v_2 - v_1$.

En ese tiempo, el corredor más lento recorre

$$d = v_1 \cdot T = \frac{v_1}{v_2 - v_1} L$$

Por lo tanto, después de cada encuentro, el corredor más lento ha avanzado la fracción

$$\frac{v_1}{v_2 - v_1}$$

de una vuelta.

Para saber en qué punto está después de $m$ encuentros, se calcula

$$D_m = m \cdot \frac{v_1}{v_2 - v_1} L$$

y se toma solo la parte fraccionaria de esa distancia respecto de la vuelta completa. Si hay $p$ puntos igualmente espaciados, cada intervalo representa $1/p$ de vuelta; así se identifica el punto exacto.

Algunas preguntas no piden una posición única, sino que ofrecen afirmaciones y preguntan cuál es necesariamente correcta. Esto significa que debes considerar todas las distribuciones compatibles con los datos.

El procedimiento es:

1. Coloca los datos fijos.
2. Si hay dos o más maneras de completar la mesa, dibuja ambos casos.
3. Observa qué relaciones se mantienen iguales en todos los casos.
4. Descarta las alternativas que solo se cumplen en algunos casos.

Muchas veces no es necesario construir todos los órdenes posibles: basta identificar los asientos que están obligados. Las palabras “necesariamente” o “siempre” exigen que la afirmación sea verdadera en todos los casos compatibles, no solo en uno.