Certezas

Un problema de certezas se reconoce porque en la pregunta aparecen expresiones como:

• «al azar»
• «como mínimo»
• «con seguridad» o «con certeza»
• «sin ver»

La palabra azar indica que no controlamos el resultado de cada extracción. La palabra certeza indica que el resultado debe cumplirse sin depender de la suerte. La combinación de ambas nos obliga a analizar el peor caso.

Veamos un ejemplo sencillo.

Ejemplo

Una urna contiene 6 esferas rojas, 4 esferas azules y 3 esferas verdes. ¿Cuántas esferas se deben extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de obtener una esfera roja?

Razonemos.

Si extraemos 1 esfera, podría ser azul o verde. No hay certeza de que sea roja.

Si extraemos 2 esferas, podrían ser ambas no rojas. Tampoco hay certeza.

El peor escenario posible es que las primeras esferas que salgan sean justamente las que no queremos. En este caso, las no rojas son:

$$4 \text{ azules} + 3 \text{ verdes} = 7$$

Podemos extraer esas 7 esferas sin obtener ninguna roja. Pero después de esa séptima extracción, ya no quedan esferas no rojas en la urna. Por lo tanto, la siguiente extracción, la octava, será forzosamente una esfera roja.

$$\text{Mínimo} = 7 + 1 = 8$$

La lógica es:

• Primero se extrae todo lo que no sirve.
• Luego se extrae lo que fuerza el objetivo.

Este es el esquema básico de todos los problemas de certezas.

Para resolver un problema de certezas de manera ordenada, conviene seguir estos pasos.

Paso 1: Identificar el objetivo

Define con precisión qué condición debe cumplirse. No es lo mismo:

• obtener una esfera roja,
• obtener dos esferas del mismo color,
• obtener dos números que sumen 13,
• obtener una suma total mayor que 40.

Cada objetivo tiene un peor caso distinto.

Paso 2: Identificar el anti-objetivo

Pregúntate: ¿qué extracción o conjunto de extracciones no cumple con lo pedido?

Por ejemplo:

• Si se quiere una esfera roja, el anti-objetivo es sacar esferas no rojas.
• Si se quiere una pareja de números que sumen 13, el anti-objetivo es sacar números que no formen esa suma.
• Si se quiere que la suma total sea mayor que 40, el anti-objetivo es que la suma se mantenga en 40 o menos.

Paso 3: Construir el peor caso

Encuentra la mayor cantidad de elementos que podrían extraerse manteniendo el anti-objetivo. Esa es la peor situación posible.

Paso 4: Agregar la extracción que fuerza el objetivo

Una vez que ya no es posible mantener el anti-objetivo, la siguiente extracción obliga a que se cumpla lo pedido.

En muchos problemas, el resultado es:

$$\text{Mínimo de extracciones} = (\text{cantidad que no cumple el objetivo}) + 1$$

En otros problemas más complejos, se compara más de un caso extremo.

Este es el caso más simple. Supongamos que se desean $k$ elementos de un tipo $T$.

El peor caso es extraer primero todos los elementos que no son de tipo $T$ y, después, los $k$ elementos que sí nos interesan.

Si en total hay $N$ objetos y de ellos $n_T$ son del tipo $T$, entonces:

$$\text{Mínimo} = (N - n_T) + k$$

con la condición de que $k \le n_T$.

Ejemplo

En una urna hay 10 fichas amarillas, 6 rojas, 8 azules y 5 verdes. ¿Cuántas fichas se deben extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de obtener 4 fichas amarillas?

El objetivo es obtener 4 fichas amarillas.

El peor caso es que primero salgan todas las fichas que no son amarillas:

$$6 + 8 + 5 = 19$$

Después de esas 19, solo quedan fichas amarillas. Para tener 4, extraemos 4 más:

$$19 + 4 = 23$$

Por lo tanto, se necesitan 23 extracciones.

Este procedimiento se repite constantemente en los exámenes.

Cuando se piden dos o más cantidades de tipos distintos, el problema se vuelve más delicado. Ya no basta con extraer todos los elementos no deseados, porque los propios tipos pedidos pueden interferir entre sí.

La técnica más confiable es la de comparar casos extremos: suponer cuál de los tipos pedidos sale al final y calcular cuántas extracciones se necesitan en ese supuesto. Luego se elige el mayor resultado, porque ese es el peor de los casos.

Ejemplo

Una caja contiene 12 esferas rojas, 9 esferas azules y 7 esferas verdes. ¿Cuántas esferas se deben extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de obtener 4 esferas rojas y 3 esferas azules?

Los colores pedidos son rojo y azul. Las esferas verdes no sirven, así que en el peor caso saldrán todas las verdes.

Ahora comparemos dos casos extremos.

Caso 1: las esferas rojas salen al final.

Primero salen todas las no rojas:

$$9 \text{ azules} + 7 \text{ verdes} = 16$$

Luego salen las 4 rojas:

$$16 + 4 = 20$$

En este escenario, ya se habrán extraído las 9 azules y 7 verdes, por lo que también se cumple la meta de 3 azules.

Caso 2: las esferas azules salen al final.

Primero salen todas las no azules:

$$12 \text{ rojas} + 7 \text{ verdes} = 19$$

Luego salen las 3 azules:

$$19 + 3 = 22$$

Aquí el resultado es 22.

Como el peor caso es el mayor:

$$\text{Mínimo} = 22$$

Si solo calculáramos el primer caso, obtendríamos 20 y nos equivocaríamos, porque existe un escenario todavía más adverso: que las azules salgan al final.

Completar todas las fichas de un mismo color

Una variante de este tipo es cuando se pide tener la certeza de haber extraído todas las fichas de un mismo color.

En ese caso, el peor escenario es extraer tantas fichas como sea posible sin completar ningún color. Es decir, de cada color se pueden extraer todas menos una:

$$(n_1 - 1) + (n_2 - 1) + \cdots + 1$$

Luego, una extracción más completa inevitablemente uno de los colores.

Ejemplo

Una caja tiene 20 canicas azules, 15 verdes y 10 rojas. ¿Cuántas canicas extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de haber extraído todas las canicas de un mismo color?

El peor caso para no completar ningún color es:

$$19 \text{ azules} + 14 \text{ verdes} + 10 \text{ rojas} = 43$$

Con 43 canicas, todavía no se ha completado ningún color: faltan 1 azul, 1 verde y 0 rojas, pero como no se completó ninguno aún, la condición no se cumple. Al extraer la canica 44, se completará alguno de los colores.

En este problema, la clave es notar que las rojas, al ser 10, podrían salir completamente sin que el objetivo se cumpla, porque aún no se han completado las azules ni las verdes.

Una de las preguntas más típicas es:

¿Cuántos objetos se deben extraer para tener la certeza de obtener dos del mismo color?

Aquí no importa cuál sea el color repetido; solo importa que haya dos iguales.

Si hay $c$ colores diferentes, el peor caso es extraer un objeto de cada color distinto, sin repetir ninguno. Con $c$ extracciones, podríamos tener todos de colores diferentes. Al sacar una más, necesariamente repetimos uno.

Para dos del mismo color:

$$\text{Mínimo} = c + 1$$

Ejemplo

En una urna hay 6 esferas rojas, 8 azules y 5 verdes. ¿Cuántas esferas extraer al azar, como mínimo, para tener dos esferas del mismo color?

Hay 3 colores. El peor caso es extraer una de cada color:

$$\text{roja, azul, verde}$$

Con 3 esferas, todas pueden ser de colores diferentes. Al extraer la cuarta, no importa qué color salga: repetirá alguno de los tres.

$$\text{Mínimo} = 3 + 1 = 4$$

Generalización: obtener $k$ objetos del mismo color

Si se quieren $k$ objetos de un mismo color y hay suficientes de cada color, el peor caso es extraer $k-1$ de cada color y luego una extracción más.

$$\text{Mínimo} = (k-1)c + 1$$

Por ejemplo, para obtener 3 esferas del mismo color con 4 colores disponibles:

$$(3-1)\cdot 4 + 1 = 2\cdot 4 + 1 = 9$$

Esto se conecta directamente con el principio del casillero.

Principio del casillero

Si se tienen $n$ casilleros y se colocan $n+1$ objetos, al menos un casillero tendrá dos objetos.

En el contexto de certezas:

• Cada casillero puede ser un color, una fecha de cumpleaños, una suma de dígitos, un mes, etc.
• Los objetos son las extracciones, personas o fichas.

Este principio no solo garantiza una repetición, sino que se puede ampliar: para garantizar al menos $k$ objetos en un mismo casillero, se necesitan:

$$(k-1)n + 1$$

objetos, siempre que cada casillero pueda recibir esa cantidad.

Muchas preguntas de admisión no piden colores, sino números que deben cumplir una relación: sumar un valor fijo, tener un producto determinado, presentar una diferencia mínima, etc.

La técnica central es:

1. Identificar todas las parejas de números que cumplen la condición.
2. Construir el mayor conjunto de elementos que no contiene ninguna pareja completa.
3. Extraer un elemento más.

Ese «elemento más» obliga a completar, por primera vez, una pareja.

Ejemplo

En una caja hay 12 fichas numeradas del 1 al 12. ¿Cuántas fichas se deben extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de obtener dos fichas cuyos números sumen 13?

Las parejas que suman 13 son:

$$(1,12),\ (2,11),\ (3,10),\ (4,9),\ (5,8),\ (6,7)$$

Hay 6 parejas.

Si queremos evitar conseguir una de esas parejas, el peor caso es extraer un solo representante de cada pareja. Por ejemplo:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$$

Con esas 6 fichas, ninguna pareja suman 13, porque estamos tomando solo un lado de cada pareja. Al extraer la séptima ficha, no importa cuál salga: tendrá su complemento dentro de las parejas identificadas, y se formará la suma 13.

Por lo tanto:

$$\text{Mínimo} = 6 + 1 = 7$$

Números que no participan en ninguna pareja

En algunos problemas, hay números «sueltos» que no forman pareja válida con ningún otro. Esos números deben sumarse al peor caso, porque su extracción retrasa el objetivo.

Ejemplo

En una caja hay fichas numeradas del 1 al 15. Se desea tener dos fichas que sumen 16.

Las parejas son:

$$(1,15),\ (2,14),\ (3,13),\ (4,12),\ (5,11),\ (6,10),\ (7,9)$$

El número 8 no tiene complemento para sumar 16, porque $8+8=16$, pero solo hay un 8. Entonces el 8 es un número suelto.

El peor caso para evitar la suma 16 es extraer el 8 y un representante de cada una de las 7 parejas:

$$1 \text{ suelto} + 7 = 8$$

Con 8 fichas podemos mantener el anti-objetivo. La novena ficha completa una pareja:

$$\text{Mínimo} = 8 + 1 = 9$$

Otro tipo de pregunta pide garantizar que el producto de los números extraídos sea divisible por un número dado.

Aquí la clave es descomponer el divisor en factores primos y determinar cuántos factores de cada tipo se necesitan.

Ejemplo

En un sobre hay 100 tarjetas numeradas del 1 al 100. ¿Cuántas tarjetas se deben extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de que el producto de todos los números extraídos sea divisible por 9?

El número $9 = 3 \times 3$. Para que un producto sea divisible por 9, se necesitan al menos dos factores 3.

Los números que aportan al menos un factor 3 son los múltiplos de 3. Del 1 al 100 hay:

$$\left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33$$

Los números que no son múltiplos de 3 no aportan ningún factor 3. ¿Cuántos son?

$$100 - 33 = 67$$

El peor caso para retrasar la divisibilidad por 9 es:

1. Extraer primero todos los no múltiplos de 3: $67$ tarjetas.
2. Extraer luego un múltiplo de 3, pero que no sea múltiplo de 9. ¿Cuántos son?

Los múltiplos de 9 del 1 al 100 son:

$$\left\lfloor \frac{100}{9} \right\rfloor = 11$$

Por lo tanto, los múltiplos de 3 que no son de 9 son:

$$33 - 11 = 22$$

Si extraemos 67 no múltiplos de 3 y 1 múltiplo de 3 que no sea de 9, el producto tendrá un solo factor 3, así que no será divisible por 9.

Con 68 extracciones todavía podemos evitar la condición:

$$67 + 1 = 68$$

Al extraer una tarjeta más, la 69.ª, no puede ser no múltiplo de 3, porque ya se agotaron. Necesariamente será otro múltiplo de 3. Entonces el producto tendrá al menos dos factores 3 y será divisible por 9.

$$\text{Mínimo} = 67 + 1 + 1 = 69$$

La misma idea se aplica para divisores como 4, 8, 27, etc.

En estos problemas no interesa que dos elementos cumplan una relación, sino que la suma de todos los elementos extraídos supere una cantidad.

El peor caso es que salgan primero los elementos de menor valor, porque así la suma crece lo más lentamente posible.

Ejemplo

Se tienen 13 cartas numeradas con los números pares del 2 al 26. ¿Cuántas cartas se deben voltear al azar, como mínimo, para tener la certeza de que la suma de la numeración de todas las cartas volteadas sea mayor que 45?

El peor escenario es voltear primero las cartas de menor numeración:

$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14$$

Sumamos:

$$2+4+6+8+10+12+14 = 56$$

Con 7 cartas, incluso en el peor caso, la suma supera 45.

Si volteáramos solo 6 cartas, el peor caso sería:

$$2+4+6+8+10+12 = 42$$

que no supera 45. Por eso se necesitan 7.

Cuando la secuencia es larga, conviene usar la suma de una progresión aritmética:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$$

Por ejemplo, para los primeros 7 números pares:

$$S_7 = \frac{(2+14)\cdot 7}{2} = 56$$

Algunas preguntas no solo involucran colores, sino también formas: esferas, cubos, conos, etc. En estos casos, primero conviene listar las combinaciones de forma y color.

Ejemplo

En una caja hay:

• 6 esferas blancas
• 5 esferas negras
• 3 cubos blancos
• 4 cubos negros

Se desea extraer, sin ver, objetos de uno en uno hasta tener la certeza de haber extraído una esfera y un cubo del mismo color.

El objetivo puede cumplirse de dos maneras:

• esfera blanca + cubo blanco
• esfera negra + cubo negro

El peor caso es extraer objetos de modo que ninguna de estas parejas se complete.

Supongamos que primero sale una esfera blanca. Para que el objetivo no se cumpla, los cubos blancos deben demorarse; el peor caso es que salgan primero todos los cubos negros y recién después un cubo blanco. En ese escenario, se extienden las extracciones.

Este tipo de análisis obliga a razonar sobre las combinaciones posibles y no solo sobre colores o formas por separado.

En la vida diaria, un par de guantes no se forma con cualquier guante izquierdo y cualquier guante derecho del mismo color; además se debe poder usar de inmediato. En estos problemas, la palabra utilizable indica que se necesita una pieza de cada lado.

La trampa está en que, en la oscuridad o sin ver, no distinguimos si un guante es izquierdo o derecho.

Ejemplo

En un cajón hay 5 pares de guantes negros y 5 pares de guantes blancos. ¿Cuántos guantes se deben extraer al azar, como mínimo, para tener un par utilizable del mismo color?

Cantidades:

• Guantes negros: 5 izquierdos + 5 derechos = 10
• Guantes blancos: 5 izquierdos + 5 derechos = 10

El peor caso es extraer primero guantes de un solo lado, porque así no se forma ningún par útil.

Podemos extraer:

• 5 guantes derechos negros
• 5 guantes derechos blancos

Eso da 10 guantes, todos derechos. No hay par útil.

Al extraer el guante número 11, ya no puede ser derecho de ninguno de los colores, porque los hemos agotado. Será izquierdo, y de un color que ya tiene un derecho extraído. Por tanto, se forma un par utilizable del mismo color.

$$\text{Mínimo} = 10 + 1 = 11$$

Este tipo de problemas también aparece con zapatos, medias o guantes de box.

Otra variante de certezas involucra llaves y candados. Aquí no se extraen objetos al azar de una urna, sino que se realizan pruebas para identificar correspondencias.

La idea es el descarte: si una llave no abre en un candado, queda descartada para ese candado. El peor caso es probar todas las opciones menos una, porque la última se deduce sin necesidad de probarla.

Ejemplo

Se tienen 7 llaves parecidas y 10 candados distintos. A cada llave le corresponde un solo candado. ¿Cuántas veces, como mínimo, hay que probar las llaves para identificar con seguridad qué llave corresponde a su respectivo candado?

Para identificar la primera llave, se prueba en candados. En el peor caso:

• Se prueba en 9 candados y no abre.
• Se deduce que corresponde al décimo candado.

Entonces se necesitan 9 pruebas para la primera llave.

Después, quedan 6 llaves y 9 candados por identificar. Para la segunda llave, el peor caso es probar en 8 candados y que no abra; la novena prueba se deduce.

El total de pruebas en el peor caso es:

$$9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 42$$

No se necesita probar la última llave, porque después de identificar las otras seis, la séptima correspondencia queda determinada.

Esta lógica se aplica también a otros problemas de identificación: medir objetos, comparar pesos, etc.

Algunos problemas no dicen «al azar», sino «sin mirar», pero permiten distinguir por el tacto o por la forma. En ese caso, no todo es azar: se puede decidir qué forma extraer.

La estrategia es analizar cuál primera elección produce el menor peor caso.

Ejemplo

En una caja hay cubos y esferas de dos colores, todos iguales en peso y tamaño dentro de cada forma, y se pueden distinguir por el tacto. Si se desea obtener un cubo y una esfera del mismo color, se debe elegir estratégicamente si conviene extraer primero un cubo o una esfera.

Se analizan ambos escenarios:

• Si se extrae primero un cubo, el color que salga determina qué esferas convienen o perjudican.
• Si se extrae primero una esfera, ocurre lo mismo en sentido inverso.

El peor caso puede ser distinto según la primera elección. Se elige la estrategia que produzca el menor número total de extracciones.

También aparecen problemas de certezas disfrazados de elecciones. Se conoce el resultado parcial y se pregunta cuántos candidatos todavía tienen posibilidad de ganar.

La lógica es de techo máximo: un candidato tiene posibilidad de ganar si, sumando todos los votos que aún no se han contado a su votación actual, podría superar o igualar al líder actual.

Razonamiento general

Supón que:

• El líder actual tiene $L$ votos.
• Faltan $R$ votos por contar.
• Un candidato cualquiera tiene $v$ votos.

Ese candidato tiene posibilidad si:

$$v + R \ge L$$

o, si se consideran otros candidatos, si su máximo posible lo mantiene en disputa.

No se debe asumir que los votos faltantes irán todos al líder; para analizar posibilidades, se mira el escenario más favorable para cada candidato y el más desfavorable para los demás.

En algunos exámenes, las cantidades no son numéricas, sino que dependen de una variable $n$. Se da como dato el número mínimo de extracciones y se pide hallar alguna característica de la urna, como el total de objetos.

La técnica es:

1. Expresar el peor caso en términos de $n$.
2. Igualar esa expresión al número mínimo dado.
3. Resolver la ecuación.
4. Calcular lo que pide el problema.

Ejemplo general

Si en una urna hay $(3n+2)$ canicas rojas, $(n+1)$ azules y $(2n-1)$ negras, y se pide extraer cierta cantidad de rojas y negras con un mínimo conocido, se plantean los casos extremos:

• Extraer todas las no pedidas.
• Dejar salir al final primero las rojas, luego las negras, o al revés.

Cada caso produce una expresión algebraica. Al igualar al dato, se obtiene $n$.