Habilidad operativa. Razonamiento deductivo

El razonamiento deductivo es aquel que parte de una ley, fórmula, propiedad o teorema conocido y lo aplica a un caso particular.

Por ejemplo, conocemos la identidad algebraica general:

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Esa es la regla general.

Ahora, si nos piden simplificar o calcular algo como

$$998\times1002$$

podemos no multiplicar directamente, sino reconocer un caso particular de diferencia de cuadrados:

$$998=1000-2$$

$$1002=1000+2$$

Entonces:

$$998\times1002=(1000-2)(1000+2)$$

y usamos la regla:

$$(1000-2)(1000+2)=1000^2-2^2=1\,000\,000-4=999\,996$$

Ese «darse cuenta de qué regla aplicar» es la esencia de la habilidad operativa.

El razonamiento deductivo se conecta directamente con la habilidad operativa: cuando ves una operación con cifras, potencias, condiciones de divisibilidad o dígitos ocultos, debes preguntarte:

1. ¿Qué propiedad general conozco que se aplica aquí?
2. ¿Cómo la convierto en un procedimiento corto?
3. ¿Qué datos mínimos necesito para obtener la respuesta?

Las siguientes secciones son las herramientas generales que aplicarás una y otra vez.

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2.1 La idea clave

Para calcular la última cifra de una potencia como

$$347^{75}$$

no necesitamos multiplicar $347$ setenta y cinco veces. Solo nos interesa su última cifra, que es $7$.

Entonces estudiamos las últimas cifras de las potencias de $7$:

$$7^1=7$$

$$7^2=49 \quad \text{termina en }9$$

$$7^3=343 \quad \text{termina en }3$$

$$7^4=2401 \quad \text{termina en }1$$

$$7^5=16807 \quad \text{termina en }7$$

Observa que las terminaciones se repiten cada 4:

$$7,9,3,1,7,9,3,1,\dots$$

Por eso decimos que el período de la cifra terminal de $7^n$ es 4.

2.2 Bases terminadas en $0,1,5,6$

Son las más sencillas.

Si una base termina en:

• $0$, todas sus potencias terminan en $0$.
• $1$, todas sus potencias terminan en $1$.
• $5$, todas sus potencias terminan en $5$.
• $6$, todas sus potencias terminan en $6$.

En símbolos:

$$(\ldots0)^n=\ldots0$$

$$(\ldots1)^n=\ldots1$$

$$(\ldots5)^n=\ldots5$$

$$(\ldots6)^n=\ldots6$$

Ejemplo:

$$236^{1000} \quad \text{termina en }6$$

porque la base termina en $6$.

2.3 Bases terminadas en $4$ y $9$

Las potencias de base que termina en $4$ se comportan así:

$$4^1=4$$

$$4^2=16$$

$$4^3=64$$

$$4^4=256$$

Entonces:

$$(\ldots4)^{\text{exponente impar}}=\ldots4$$

$$(\ldots4)^{\text{exponente par}}=\ldots6$$

Por su parte, para base que termina en $9$:

$$9^1=9$$

$$9^2=81$$

Entonces:

$$(\ldots9)^{\text{exponente impar}}=\ldots9$$

$$(\ldots9)^{\text{exponente par}}=\ldots1$$

2.4 Bases terminadas en $2,3,7,8$

Estas bases tienen período 4.

Para una base que termina en $2$, las últimas cifras de sus potencias son:

$$2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16$$

Entonces:

$$(\ldots2)^{\overset{\circ}{4}}=\ldots6$$

$$(\ldots2)^{\overset{\circ}{4}+1}=\ldots2$$

$$(\ldots2)^{\overset{\circ}{4}+2}=\ldots4$$

$$(\ldots2)^{\overset{\circ}{4}+3}=\ldots8$$

Para una base que termina en $3$:

$$3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81$$

Entonces:

$$(\ldots3)^{\overset{\circ}{4}}=\ldots1$$

$$(\ldots3)^{\overset{\circ}{4}+1}=\ldots3$$

$$(\ldots3)^{\overset{\circ}{4}+2}=\ldots9$$

$$(\ldots3)^{\overset{\circ}{4}+3}=\ldots7$$

Para base que termina en $7$:

$$7^1=7,\quad 7^2=49,\quad 7^3=343,\quad 7^4=2401$$

Entonces:

$$(\ldots7)^{\overset{\circ}{4}}=\ldots1$$

$$(\ldots7)^{\overset{\circ}{4}+1}=\ldots7$$

$$(\ldots7)^{\overset{\circ}{4}+2}=\ldots9$$

$$(\ldots7)^{\overset{\circ}{4}+3}=\ldots3$$

Para base que termina en $8$:

$$8^1=8,\quad 8^2=64,\quad 8^3=512,\quad 8^4=4096$$

Entonces:

$$(\ldots8)^{\overset{\circ}{4}}=\ldots6$$

$$(\ldots8)^{\overset{\circ}{4}+1}=\ldots8$$

$$(\ldots8)^{\overset{\circ}{4}+2}=\ldots4$$

$$(\ldots8)^{\overset{\circ}{4}+3}=\ldots2$$

Podemos resumirlo en una tabla.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Última cifra de la base} & r=0 & r=1 & r=2 & r=3 \\ \hline 2 & 6 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 1 & 3 & 9 & 7 \\ 7 & 1 & 7 & 9 & 3 \\ 8 & 6 & 8 & 4 & 2 \\ \end{array}$$

Aquí $r$ es el residuo del exponente al dividirlo entre 4, es decir, el exponente es de la forma

$$\overset{\circ}{4}+r$$

Cuidado con el caso $r=0$: no se usa la potencia $0$, sino la potencia $4$, que es la que completa el ciclo.

Ejemplo:

Halle la última cifra de $12^{20}$.

La base termina en $2$. El exponente es $20$, que es $\overset{\circ}{4}$ con residuo $0$.

Entonces:

$$12^{20} \quad \text{termina como } 2^4=16$$

Por lo tanto, termina en $6$.

2.5 Restos módulo 9 de potencias

Además de la última cifra, a veces interesa el residuo al dividir entre 9.

La idea es similar: reducimos la base módulo 9 y observamos el período.

Por ejemplo, para calcular el residuo de $52^{30}$ entre 9:

$$52\equiv 7 \pmod{9}$$

Porque $52=9\times5+7$.

Entonces:

$$52^{30}\equiv 7^{30}\pmod{9}$$

Ahora observamos las potencias de 7 módulo 9:

$$7^1\equiv 7$$

$$7^2=49\equiv 4$$

$$7^3=343\equiv 1$$

Como cada 3 potencias vuelve a $1$, entonces:

$$7^{30}=(7^3)^{10}\equiv 1^{10}\equiv 1$$

Por lo tanto, $52^{30}$ deja residuo $1$ al dividirse entre 9.

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Algunos problemas no presentan potencias, sino una secuencia de dígitos que se repite.

Ejemplo:

Si una persona escribe

$$31524\,31524\,31524\ldots$$

el bloque periódico es

$$31524$$

y tiene 5 cifras.

Para saber qué cifra ocupa una posición dada, se reduce la posición módulo 5.

Así, la posición $1$ será $3$, la $2$ será $1$, la $3$ será $5$, la $4$ será $2$, la $5$ será $4$, la $6$ vuelve a ser $3$, y así sucesivamente.

Cuando se pregunta por los últimos tres dígitos de un número formado de esta manera, se necesita conocer cuántas cifras se escribieron y luego reducir esa cantidad módulo el período.

Este tipo de razonamiento no es inductivo puro, porque no se trata de descubrir una fórmula desde cero, sino de aplicar la periodicidad ya observada a una posición concreta.

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4.1 La regla general

Cuando multiplicamos un número por $9$, $99$, $999$, etc., podemos aprovechar que:

$$9=10-1$$

$$99=100-1$$

$$999=1000-1$$

$$9999=10000-1$$

Entonces:

$$N\times9=N(10-1)=10N-N$$

$$N\times99=N(100-1)=100N-N$$

$$N\times999=N(1000-1)=1000N-N$$

En general:

$$N\times\underbrace{999\ldots99}_{k\text{ cifras}} = N\underbrace{000\ldots00}_{k\text{ ceros}}-N$$

4.2 Forma práctica

Para multiplicar $N$ por un número formado por $k$ nueves:

1. Escribe $N$ seguido de $k$ ceros.
2. Réstale $N$.

Ejemplo:

$$523\times999$$

Escribimos:

$$523000$$

y restamos:

$$523000-523=522477$$

Por lo tanto:

$$523\times999=522477$$

4.3 Últimas cifras del producto

Un caso muy común es preguntar por las últimas cifras de un producto por $999$, $9999$, etc.

Si $N$ tiene menos cifras que la cantidad de nueves, las últimas cifras del producto son el resultado de restar $N$ de la potencia de 10 correspondiente.

Ejemplo:

Si

$$\overline{abc}\times999=\ldots425$$

entonces, para las tres últimas cifras:

$$1000-\overline{abc}=425$$

porque $1000N$ termina en $000$.

De ahí:

$$\overline{abc}=1000-425=575$$

Esta técnica es muy rápida para problemas de dígitos ocultos.

4.4 Extensión a otros casos

A veces aparecen multiplicaciones por $3333$, $1111$, etc. Se pueden transformar usando los nueves.

Por ejemplo:

$$3333=\frac{9999}{3}$$

Entonces, si se conoce el producto por $3333$, se puede relacionar con el producto por $9999$.

Otras veces conviene regresar a la multiplicación tradicional, especialmente si el número tiene varios dígitos diferentes.

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5.1 ¿Qué es reconstruir una operación?

En estos problemas se han ocultado algunas cifras con letras, asteriscos o figuras, y se pide hallarlas.

Ejemplo típico:

$$\overline{ABC}\times 3=\ldots637$$

Debemos hallar $A$, $B$, $C$ o alguna relación entre ellas.

La herramienta central es la multiplicación o adición columna por columna, respetando las llevadas.

5.2 Criterios de paridad en reconstrucción

Los criterios de paridad ayudan a deducir cifras rápidamente.

Por ejemplo, en una columna de adición:

$$\overline{AB}+\overline{CB}=\overline{XY}$$

si $B$ y $Y$ son cifras, entonces al sumar las unidades:

$$B+B=Y \quad \text{o} \quad B+B=10+Y$$

Como $B+B$ es par, $Y$ debe ser par.

Por eso, si $Y$ fuera impar, algo fallaría: habría que revisar la llevada o los datos.

En multiplicación:

$$\text{par}\times\text{par}=\text{par}$$

$$\text{impar}\times\text{impar}=\text{impar}$$

Esto permite descartar rápidamente cifras imposibles.

5.3 Reconstrucción de una multiplicación de derecha a izquierda

La técnica más importante es trabajar desde las unidades hacia la izquierda.

Ejemplo:

Halle el menor número de cuatro cifras $\overline{abcd}$ tal que

$$\overline{abcd}\times3=\ldots247$$

Trabajamos así:

1. Unidades:

$$3d \quad \text{termina en }7$$

La única cifra que cumple es

$$d=9$$

porque $3\times9=27$, deja $7$ y lleva $2$.

2. Decenas:

$$3c+2 \quad \text{termina en }4$$

Entonces $3c$ debe terminar en $2$. Eso ocurre con

$$c=4$$

porque $3\times4=12$, y $12+2=14$, deja $4$ y lleva $1$.

3. Centenas:

$$3b+1 \quad \text{termina en }2$$

Entonces $3b$ debe terminar en $1$. Eso ocurre con

$$b=7$$

porque $3\times7=21$, y $21+1=22$, deja $2$ y lleva $2$.

Así, las últimas tres cifras del número son $749$.

Para que sea el menor de cuatro cifras, la cifra de los millares se elige lo más pequeña posible, pero distinta de cero:

$$a=1$$

Por lo tanto, el número es:

$$1749$$

Verificación:

$$1749\times3=5247$$

Efectivamente termina en $247$.

5.4 Construcción de números con dígitos dados

A veces el problema no da una operación escrita, sino que pide formar números usando ciertos dígitos bajo restricciones.

La regla de oro es:

• Las centenas pesan más que las decenas.
• Las decenas pesan más que las unidades.

Entonces, para minimizar una suma de números de tres cifras, se colocan los dígitos menores en las centenas.

Ejemplo:

Formar tres números de tres cifras usando los dígitos del $1$ al $9$ una sola vez, de modo que su suma sea mínima.

Razonamos así:

• Centenas: colocamos $1,2,3$.
• Decenas: colocamos $4,5,6$.
• Unidades: colocamos $7,8,9$.

La suma será:

$$(1+2+3)\times100+(4+5+6)\times10+(7+8+9)$$

$$=6\times100+15\times10+24$$

$$=600+150+24=774$$

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6.1 Resto de una concatenación entre 9

Cuando un número se forma escribiendo otros números uno tras otro, su residuo entre 9 se puede calcular sumando las cifras de todos los números escritos.

Ejemplo:

Calcule el residuo entre 9 del número formado al escribir los pares $2,4,6,8,10,12,\ldots,38$.

No es necesario formar el número gigante. Basta sumar todas las cifras de esos números.

Un orden práctico es separar:

• Cifras de las unidades.
• Cifras de las decenas.

Luego de calcular la suma total, se reduce al dividirla entre 9.

6.2 Múltiplos de $4$ y $9$: el caso de $36$

Para saber si un número es múltiplo de $36$, como

$$36=4\times9$$

y $4$ con $9$ son primos entre sí, el número debe ser múltiplo de 4 y múltiplo de 9 a la vez.

Recordemos:

• Un número es divisible por $4$ si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de $4$.
• Un número es divisible por $9$ si la suma de sus cifras es múltiplo de $9$.

Cuando se pide el mayor número con estas condiciones, conviene:

1. Usar la mayor cantidad posible de cifras.
2. Colocar las cifras mayores en las posiciones más a la izquierda.
3. Ajustar las dos últimas cifras para que sean múltiplo de 4.
4. Verificar que la suma de cifras sea múltiplo de 9.

6.3 Conteo con dígitos restringidos

Muchos problemas preguntan cuántos números hay que contengan al menos un dígito determinado.

La técnica más rápida suele ser:

$$\text{números con al menos un dígito }x = \text{total de números} - \text{números sin ningún dígito }x$$

Ejemplo:

¿Cuántos números de cuatro cifras tienen al menos un dígito $2$?

Total de números de cuatro cifras:

$$9000$$

Números de cuatro cifras sin el dígito $2$:

• Primera cifra: no puede ser $0$ ni $2$, entonces hay $8$ opciones.
• Segunda cifra: no puede ser $2$, entonces hay $9$ opciones.
• Tercera cifra: no puede ser $2$, entonces hay $9$ opciones.
• Cuarta cifra: no puede ser $2$, entonces hay $9$ opciones.

Así:

$$8\times9\times9\times9=5832$$

Entonces:

$$9000-5832=3168$$

6.4 Números que cumplen dos condiciones sobre su terminación

Algunos problemas combinan divisibilidad y terminación.

Por ejemplo:

«Halle la suma del mayor y menor número de tres cifras divisibles por $3$, los cuales, disminuidos en $3$ unidades, son divisibles por $5$.»

Si disminuir un número en $3$ lo hace divisible por $5$, entonces el número original debe terminar en

$$3 \quad \text{o} \quad 8$$

porque:

• Si termina en $3$, al restar $3$ termina en $0$, que es múltiplo de $5$.
• Si termina en $8$, al restar $3$ termina en $5$, que es múltiplo de $5$.

Además, debe ser divisible por $3$, así que la suma de sus cifras debe ser múltiplo de $3$.

Luego se busca el menor y el mayor con esas características.

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También hay problemas de habilidad operativa donde no hay una operación aritmética tradicional, sino una operación permitida sobre objetos, como mover bolos de un recipiente a otro.

En estos casos, el razonamiento deductivo consiste en:

1. Comparar la situación inicial y la situación final.
2. Identificar qué elementos deben cambiar de posición.
3. Deducir cuántos movimientos son inevitables.
4. Verificar si una operación puede dejar un elemento en su posición final sin necesidad de moverlo de nuevo.

La búsqueda del mínimo número de operaciones se logra cuando cada operación coloca un elemento en su posición definitiva o resuelve una diferencia que no puede corregirse de otra forma.

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8.1 Cuadrado de un número que termina en $5$

Existe una regla práctica muy útil.

Un número que termina en $5$ se puede escribir como:

$$\overline{m5}=10m+5$$

Su cuadrado es:

$$(10m+5)^2=100m(m+1)+25$$

Por eso:

$$\overline{m5}^2=\overline{m(m+1)}\,25$$

Ejemplo:

$$85^2$$

Quitamos el $5$, queda $8$. Multiplicamos $8$ por su consecutivo:

$$8\times9=72$$

Entonces:

$$85^2=7225$$

8.2 Producto de cuatro enteros consecutivos más uno

Otra identidad práctica:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n(n+3)+1)^2$$

Ejemplo:

$$1\cdot2\cdot3\cdot4+1=25=5^2$$

Esta regla ahorra mucho tiempo si se reconoce en un problema.

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