Cuadrados mágicos 1 (aditivo de orden 3)

Un cuadrado mágico aditivo de orden 3 es una cuadrícula de $3 \times 3$ en la que se escriben números de tal forma que la suma de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma. A esa suma común se le llama constante mágica, y la representaremos con $S$.

Esquemáticamente, si las casillas son:

$$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$$

entonces deben cumplirse las siguientes igualdades:

$$\begin{aligned} a+b+c &= S \\ d+e+f &= S \\ g+h+i &= S \\ a+d+g &= S \\ b+e+h &= S \\ c+f+i &= S \\ a+e+i &= S \\ c+e+g &= S \end{aligned}$$

Observa que hay ocho sumas que deben ser iguales: tres filas, tres columnas y dos diagonales.

El ejemplo clásico es el cuadrado mágico con los números del $1$ al $9$:

$$\begin{array}{ccc} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}$$

En este cuadrado, todas las filas, columnas y diagonales suman $15$:

• Filas: $2+7+6=15$, $9+5+1=15$, $4+3+8=15$.
• Columnas: $2+9+4=15$, $7+5+3=15$, $6+1+8=15$.
• Diagonales: $2+5+8=15$, $6+5+4=15$.

La constante mágica es $S=15$.

Nota que el número $5$ ocupa la casilla central. Esta no es una casualidad; más adelante veremos por qué el centro es tan importante.

Muchos problemas de admisión te piden distribuir nueve números que forman una progresión aritmética. Para hacerlo de forma rápida y ordenada se usa el método de Bachet.

¿En qué consiste?

Supongamos que debemos ubicar los números $$1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$$ en un cuadrado mágico de orden 3.

Paso 1. Agrega mentalmente una casilla en el centro de cada lado del cuadrado, como si dibujaras una cruz exterior.

Paso 2. Escribe los números en orden, de manera diagonal, comenzando en una de esas casillas exteriores. Por ejemplo, coloca el $1$ en la casilla exterior izquierda, y continúa diagonalmente hacia arriba y a la derecha: $$1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 7 \rightarrow 8 \rightarrow 9$$ Algunos números quedarán dentro del cuadrado original y otros en las casillas exteriores.

Paso 3. Los números que quedaron en las casillas exteriores se trasladan al interior: se mueven en línea recta, horizontal o vertical, hasta la casilla vacía más alejada del cuadrado.

Siguiendo el proceso con los números del $1$ al $9$, se obtiene:

$$\begin{array}{ccc} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}$$

Extensión a cualquier progresión aritmética de nueve términos

El método de Bachet no solo funciona con $1; 2; 3; \dots; 9$. Sirve para cualquier progresión aritmética de nueve términos.

Por ejemplo, si los números son $$3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19,$$ el centro será el término central $11$, y la constante mágica será $33$. Un cuadrado mágico posible es:

$$\begin{array}{ccc} 5 & 15 & 13 \\ 19 & 11 & 3 \\ 9 & 7 & 17 \end{array}$$

Verifica algunas sumas:

• Fila 1: $5+15+13=33$.
• Columna 2: $15+11+7=33$.
• Diagonal principal: $5+11+17=33$.

¿Qué pasa con números negativos o pares?

El método también se aplica si los números son negativos, pares, impares o decimales, siempre que formen una progresión aritmética.

Por ejemplo, con los números pares $$-4; -2; 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12,$$ el término central es $4$, así que el centro del cuadrado será $4$ y la constante mágica será $$S = 3 \times 4 = 12.$$

Un cuadrado mágico posible es:

$$\begin{array}{ccc} -2 & 10 & 4 \\ 12 & 4 & -4 \\ 2 & -2 & 14 \end{array}$$

Aunque este cuadrado repite $-2$, lo que no es válido si el problema exige números distintos. Para evitar repeticiones, conviene seguir exactamente el método de Bachet. En la admisión UNMSM 2024-II se pidió distribuir precisamente estos nueve números, con algunas fichas ya colocadas. La clave era usar el término central y la constante mágica.

La propiedad más importante de un cuadrado mágico de orden 3 es la siguiente:

$$\boxed{S = 3e}$$

donde $e$ es el número ubicado en la casilla central.

Es decir, la constante mágica es igual a tres veces el número central.

¿Por qué se cumple?

Consideremos el cuadrado genérico:

$$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$$

La fila central y la columna central suman $S$:

$$d+e+f = S, \qquad b+e+h = S.$$

Sumando ambas igualdades:

$$b+d+f+h+2e = 2S. \qquad (1)$$

Ahora observemos las dos diagonales:

$$a+e+i = S, \qquad c+e+g = S.$$

Sumando:

$$a+c+g+i+2e = 2S. \qquad (2)$$

Por otro lado, la suma de la primera y la tercera fila es:

$$a+b+c+g+h+i = 2S. \qquad (3)$$

Comparando (2) y (3), como ambas valen $2S$, podemos igualar la parte que contiene a $a, c, g, i$:

$$a+c+g+i+2e = a+b+c+g+h+i.$$

Simplificando $a+c+g+i$ en ambos lados:

$$2e = b+h. \qquad (4)$$

De manera similar, comparando la suma de la primera y tercera columna con la suma de las diagonales se obtiene:

$$2e = d+f. \qquad (5)$$

Finalmente, usamos la fila central:

$$d+e+f = S.$$

Pero por (5), $d+f = 2e$. Entonces:

$$2e + e = S,$$

es decir,

$$S = 3e.$$

Esta demostración es muy útil porque no depende de que los números formen una progresión aritmética. Siempre, en todo cuadrado mágico aditivo de orden 3, la constante mágica es el triple del número central.

Consecuencias inmediatas

• Si conocemos el centro, conocemos la constante: $S=3e$.
• Si conocemos la constante, conocemos el centro: $e=\frac{S}{3}$.
• Si los nueve números a distribuir forman una progresión aritmética, el centro del cuadrado siempre será el término central de la progresión.

Además de $S=3e$, existen otras propiedades que permiten hallar números desconocidos sin plantear todas las ecuaciones.

Mantengamos la notación:

$$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$$

Propiedad 1: Pares opuestos respecto al centro

Los números ubicados en casillas simétricamente opuestas respecto del centro suman $2e$.

Es decir:

$$\boxed{ a+i = 2e, \quad b+h = 2e, \quad c+g = 2e, \quad d+f = 2e }$$

Justificación: como la línea que contiene a dos casillas opuestas y al centro es una fila, columna o diagonal, su suma es $S$. Pero $S=3e$, y el centro vale $e$. Entonces los dos extremos deben sumar $2e$.

Ejemplo: en el cuadrado clásico $$\begin{array}{ccc} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}$$ el centro es $5$. Los pares opuestos suman $10$: $$2+8=10,\quad 7+3=10,\quad 6+4=10,\quad 9+1=10.$$

Propiedad 2: Dos casillas laterales adyacentes y la esquina opuesta

Si tomamos dos casillas laterales (que están en los lados del cuadrado, es decir, las que no son esquinas ni centro) que comparten una esquina, su suma es el doble del número ubicado en la esquina opuesta.

Por ejemplo:

$$\boxed{ b+f = 2g }$$

donde $b$ es la casilla lateral superior central, $f$ es la casilla lateral derecha central y $g$ es la esquina inferior izquierda.

También se cumplen las versiones simétricas:

$$b+d = 2i, \qquad h+f = 2a, \qquad h+d = 2c.$$

Ejemplo: en el cuadrado $$\begin{array}{ccc} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}$$ tomemos los laterales superior $7$ y derecho $1$. Su suma es $8$, y la esquina inferior izquierda es $4$, de modo que $$7+1 = 2 \times 4 = 8.$$

Esta propiedad es muy útil cuando se conocen dos laterales y se pide una esquina, o viceversa.

Propiedad 3: Sumas iguales en diagonales quebradas

La suma de dos casillas que forman un "codo" en una esquina es igual a la suma del centro y la casilla que completa el rectángulo opuesto.

Por ejemplo:

$$\boxed{ a+b = e+g }$$

donde $a$ es la esquina superior izquierda, $b$ el lateral superior central, $e$ el centro y $g$ la esquina inferior izquierda.

También se cumple:

$$a+c = e+h, \qquad a+d = e+i, \qquad a+b = e+g.$$

En general, si dos casillas son adyacentes en una misma línea (fila o columna) y están en un extremo del cuadrado, su suma es igual a la suma del centro y la casilla que está en la misma línea perpendicular que la casilla más alejada.

Ejemplo: en el cuadrado clásico, $$2+7=9, \quad 5+4=9,$$ así que $$a+b = e+g.$$

Propiedad 4: Suma de las esquinas y de las casillas laterales

Como las esquinas opuestas suman $2e$, las cuatro esquinas suman:

$$a+c+g+i = 4e.$$

Además, como la suma total de los nueve números es $9e$, y las esquinas suman $4e$, las cuatro casillas laterales también suman $4e$:

$$b+d+f+h = 4e.$$

Ejemplo: en el cuadrado clásico, las esquinas $2,6,4,8$ suman $20$, y los laterales $7,9,1,3$ también suman $20$.

Un modelo general opcional

Si te gusta el álgebra, puedes representar cualquier cuadrado mágico de orden 3 de la siguiente forma:

$$\begin{array}{ccc} e+p & e-p-q & e+q \\ e-p+q & e & e+p-q \\ e-q & e+p+q & e-p \end{array}$$

donde $e$ es el centro y $p, q$ son dos números libres. Esta parametrización permite construir fácilmente cuadrados mágicos y verificar todas las propiedades anteriores.

Por ejemplo, si tomamos $e=8$, $p=2$, $q=3$, obtenemos:

$$\begin{array}{ccc} 10 & 3 & 11 \\ 9 & 8 & 7 \\ 5 & 13 & 6 \end{array}$$

que es un cuadrado mágico de constante $24$.

No es necesario memorizar esta fórmula, pero ayuda a entender por qué un cuadrado mágico de orden 3 tiene exactamente dos grados de libertad además del centro.

Los problemas de cuadrados mágicos en la admisión se pueden clasificar en varios tipos. Veamos cómo atacar cada uno.

Tipo 1: Distribuir nueve números dados

Situación: te dan nueve números y te piden colocarlos en un cuadrado mágico.

Estrategia:

1. Ordena los nueve números en una progresión aritmética.
2. Identifica el término central: ese va en la casilla central.
3. Calcula la constante mágica: $$S = 3 \times \text{término central} = \frac{\text{suma de los nueve números}}{3}.$$
4. Usa el método de Bachet para distribuir todos los números.
5. Si ya hay algunas fichas colocadas, usa las propiedades para ubicar las restantes.

Ejemplo breve: si los números son $3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19$, el centro es $11$, la constante es $33$, y el cuadrado se construye con Bachet.

Tipo 2: Completar un cuadrado parcialmente lleno

Situación: te muestran un cuadrado con algunas casillas ya escritas y debes hallar una o varias incógnitas.

Estrategia:

1. Observa si el centro ya está dado.
2. Si el centro es dato, calcula la constante $S=3e$.
3. Usa las propiedades de pares opuestos y laterales para hallar incógnitas.
4. Si una línea completa está disponible, esa suma es la constante, y de ahí obtienes el centro.
5. Si no hay centro ni línea completa, plantea ecuaciones con las sumas de filas, columnas y diagonales.

Tipo 3: Problemas con letras

Situación: en lugar de números, el cuadrado tiene letras, y se pide hallar la suma de algunas de ellas.

Estrategia:

1. Usa la propiedad $S=3e$ para relacionar el centro con las sumas.
2. Identifica pares opuestos y aplica $a+i=2e$.
3. No siempre necesitas hallar cada letra; muchas veces la suma pedida se obtiene directamente.

Tipo 4: Problemas de suficiencia de datos

Situación: se te presenta un cuadrado con algunas incógnitas y se te da información adicional en forma de datos I, II, III. Debes determinar cuáles de esos datos son suficientes para resolver el problema.

Estrategia:

1. Analiza cuánta información ya está fija en la figura.
2. Determina cuántas incógnitas independientes quedan.
3. Un dato es suficiente si permite hallar la constante mágica y despejar todas las incógnitas.
4. A veces un solo dato (por ejemplo, el centro) es suficiente porque desbloquea la constante $S=3e$, y junto con las casillas ya fijas se completa todo.
5. No asumas que se necesitan todos los datos; analiza cada uno por separado.